Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty. Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty.
Przejdź do treści

Kalkulator kombinacji, permutacji i wariacji

Wpisz n i k. Kalkulator policzy kombinacje, permutacje, wariacje bez powtórzeń i z powtórzeniami oraz pomoże wybrać właściwy wzór.

Dane do obliczeń

Najpierw ustal, czy kolejność ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać.

Liczba całkowita od 0 do 200.
Liczba całkowita od 0 do 200.
Tylko do permutacji z powtórzeniami. Np. MAMA: 2,2.
Ważne: n i k nie są po cichu zaokrąglane ani ograniczane. Jeśli wpiszesz wartość ułamkową, tekst albo liczbę poza zakresem, kalkulator pokaże błąd.

Wynik

Kombinacje C(n,k)
—
Permutacje n!: —
Kombinacje C(n,k): —
Wariacje bez powtórzeń V(n,k): —
Wariacje z powtórzeniami nk: —
Kombinacje z powtórzeniami: —
Permutacje z powtórzeniami:
—

Rozwiązanie krok po kroku

Kombinacje, wariacje czy permutacje – co wybrać?

Kombinacje stosujesz, gdy wybierasz k elementów z n i kolejność nie ma znaczenia. Wariacje stosujesz, gdy wybierasz k elementów i kolejność ma znaczenie. Permutacje dotyczą ustawiania wszystkich n elementów.

Jeśli elementy mogą się powtarzać, wybierz odpowiedni wariant z powtórzeniami. To rozróżnienie jest ważniejsze niż samo zapamiętanie wzoru.

Najważniejsze wzory z kombinatoryki

Permutacje

P(n) = n!

Ustawiasz wszystkie n różnych elementów.

Kombinacje bez powtórzeń

C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)

Wybierasz k elementów, kolejność nie ma znaczenia.

Wariacje bez powtórzeń

V(n,k) = n! / (n-k)!

Wybierasz i ustawiasz k elementów.

Wariacje z powtórzeniami

W(n,k) = nk

Tworzysz ciąg długości k, a element może wystąpić wiele razy.

Kombinacje z powtórzeniami

C(n+k-1,k)

Wybierasz k elementów z n rodzajów, kolejność nie ma znaczenia i powtórzenia są dozwolone.

Permutacje z powtórzeniami

n! / (n₁!n₂!…nᵣ!)

Ustawiasz wszystkie elementy, ale część z nich jest jednakowa.

Jak wybrać właściwy wzór?

SytuacjaKolejność?Powtórzenia?Wzór
Ustawienie wszystkich elementówTakNien!
Wybór k elementówNieNieC(n,k)
Obsadzenie k różnych miejscTakNieV(n,k)
Kod długości k z n znakówTakTaknk
Wybór k elementów z możliwością powtórzeńNieTakC(n+k-1,k)
Ustawienie elementów z jednakowymi grupamiTakTakn!/(n₁!n₂!…)

Przykład: 6 osób i wybór 3

Jeśli z 6 osób wybierasz 3-osobową komisję, kolejność nie ma znaczenia: C(6,3)=20. Jeśli te same 3 osoby mają zająć trzy różne miejsca, kolejność ma znaczenie: V(6,3)=120. Jeśli tworzysz kod długości 3 z 6 znaków i znaki mogą się powtarzać, otrzymujesz 6³=216.

Dla słowa MAMA są 4 litery, z czego M występuje 2 razy i A występuje 2 razy, więc liczba różnych ustawień wynosi 4!/(2!·2!)=6.

Przykładowe zadania

Delegacja

Z 10 osób wybieramy 3-osobową delegację. Kolejność nie ma znaczenia: C(10,3)=120.

Podium

Z 8 zawodników obsadzamy trzy miejsca. Kolejność ma znaczenie: V(8,3)=336.

Kod

Kod ma 3 pozycje i na każdej może być jedna z 10 cyfr. Powtórzenia są dozwolone: 10³=1000.

Powtarzające się litery

Słowo TATA ma 4 litery, T i A po 2 razy: 4!/(2!·2!)=6.

Najczęstsze błędy

  • Użycie kombinacji, mimo że zamiana kolejności tworzy inny wynik.
  • Użycie wariacji bez powtórzeń w zadaniu, w którym element może pojawić się kilka razy.
  • Brak podzielenia przez silnie liczności grup przy permutacjach z powtórzeniami.
  • Próba obliczenia kombinacji lub wariacji bez powtórzeń dla k > n.
  • Mylenie liczby sposobów z prawdopodobieństwem zdarzenia.

Od kombinatoryki do prawdopodobieństwa

Kombinatoryka często służy do policzenia liczby wszystkich wyników i liczby wyników sprzyjających. Jeśli wyniki są jednakowo prawdopodobne, te liczby możesz potem wykorzystać w kalkulatorze prawdopodobieństwa klasycznego.

Przy losowaniu bez zwracania przyda się również kalkulator prawdopodobieństwa z kombinacji.

Sprawdź także

Prawdopodobieństwo klasycznePolicz P(A) z liczby przypadków sprzyjających i wszystkich możliwych.
Tablica wzorów kombinatorykiSzybka ściąga ze wzorami na kombinacje, wariacje i permutacje.
Matematyka dyskretnaLogika, zbiory, modulo, kombinatoryka i teoria grafów.
Kalkulatory matematyczneWięcej narzędzi, tablic i poradników matematycznych.

FAQ – kombinacje, permutacje i wariacje

W kombinacjach kolejność nie ma znaczenia, a w wariacjach kolejność wybranych elementów ma znaczenie.

Permutacji używamy wtedy, gdy ustawiamy wszystkie elementy w kolejności.

Użyj wzoru C(n,k)=n!/(k!(n-k)!), gdzie n to liczba elementów, a k to liczba wybieranych elementów.

Użyj wzoru V(n,k)=n!/(n-k)!, gdy wybierasz i ustawiasz k elementów z n.

Dla wariacji z powtórzeniami używa się wzoru n^k, czyli liczba możliwości w każdej pozycji do potęgi liczby pozycji.

n! to iloczyn liczb od 1 do n. Na przykład 5! = 5·4·3·2·1 = 120.

Dzielimy n! przez silnie liczności powtarzających się grup, np. 4!/(2!·2!) dla słowa MAMA.

Kolejność ma znaczenie, gdy zamiana miejsc dwóch elementów tworzy inny wynik, np. w podium lub kodzie.

Najpierw policz liczbę wszystkich możliwych wyników i liczbę wyników sprzyjających, a potem oblicz iloraz m/n.

Popularne w tej kategorii

Kalkulator liczb rzymskichPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator wspólnego mianownika ułamkówPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator działań pisemnych
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator procentów
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.