Kombinatoryka i prawdopodobieństwo – wzory i przykłady
Tablica wzorów do kombinacji, permutacji, wariacji, silni, prawdopodobieństwa klasycznego i losowania bez zwracania z przykładami oraz sposobem wyboru właściwego wzoru.
Kombinatoryka i prawdopodobieństwo w jednym miejscu
Ta tablica pomaga szybko rozpoznać, czy w zadaniu trzeba użyć permutacji, kombinacji, wariacji, prawdopodobieństwa klasycznego czy wzoru z kombinacji przy losowaniu bez zwracania. Najważniejsze jest pytanie, czy kolejność ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać.
Do obliczeń użyj kalkulatora kombinacji, permutacji i wariacji, kalkulatora prawdopodobieństwa klasycznego albo kalkulatora prawdopodobieństwa z kombinacji.
Najważniejsze wzory z kombinatoryki
| Nazwa | Wzór | Kiedy używać? | Przykład |
|---|---|---|---|
| Silnia | n! = 1·2·...·n | Gdy ustawiamy elementy lub budujemy wzory z n! | 5! = 120 |
| Permutacje bez powtórzeń | P(n)=n! | Ustawiamy wszystkie elementy w kolejności | 5 książek na półce |
| Permutacje z powtórzeniami | n!/(a!·b!·c!·...) | Część elementów się powtarza | litery w słowie MAMA |
| Kombinacje bez powtórzeń | C(n,k)=n!/(k!(n-k)!) | Wybieramy k elementów, kolejność nie ma znaczenia | komisja 3 osób z 10 |
| Kombinacje z powtórzeniami | C(n+k-1,k) | Wybieramy z powtórzeniami, kolejność nie ma znaczenia | wybór smaków z możliwością powtórzeń |
| Wariacje bez powtórzeń | V(n,k)=n!/(n-k)! | Wybieramy i ustawiamy k elementów | podium 3 osób z 8 |
| Wariacje z powtórzeniami | n^k | Tworzymy ciąg długości k z n znaków | kod, PIN, hasło |
Jak wybrać właściwy wzór?
Czy kolejność ma znaczenie?
Jeżeli zamiana miejsc dwóch elementów daje inny wynik, użyj wariacji albo permutacji. Jeśli nie, użyj kombinacji.
Czy wybierasz wszystkie elementy?
Jeżeli ustawiasz wszystkie elementy, zwykle liczysz permutacje. Jeśli tylko część, najczęściej kombinacje lub wariacje.
Czy elementy mogą się powtarzać?
Jeżeli tak, wybierz wzór z powtórzeniami, np. n^k dla kodów albo C(n+k-1,k) dla wyborów bez kolejności.
Najważniejsze wzory z prawdopodobieństwa
| Sytuacja | Wzór | Co oznacza? | Przykład |
|---|---|---|---|
| Prawdopodobieństwo klasyczne | P(A)=m/n | m przypadków sprzyjających, n wszystkich możliwych | wyrzucenie parzystej liczby na kostce |
| Zdarzenie przeciwne | P(A')=1-P(A) | Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie zajdzie | brak sukcesu |
| Dokładnie r sukcesów bez zwracania | C(S,r)·C(N-S,k-r)/C(N,k) | Model kombinacyjny losowania bez zwracania | dokładnie 2 czerwone kule |
| Co najmniej r sukcesów | Σ od r do maksimum | Dodajemy kilka możliwych przypadków | co najmniej 2 dobre losy |
| Najwyżej r sukcesów | Σ od minimum do r | Dodajemy przypadki od najmniejszej możliwej liczby sukcesów | najwyżej 1 as w ręce kart |
| Co najmniej jeden sukces | 1 - P(0 sukcesów) | Często szybciej liczyć przez zdarzenie przeciwne | przynajmniej jeden los wygrywający |
Przykłady szybkiego rozpoznawania zadań
Komisja
Z 12 osób wybieramy 4 osoby do komisji. Kolejność nie ma znaczenia, więc stosujemy kombinacje C(12,4).
Podium
Z 12 osób wybieramy miejsca 1, 2 i 3. Kolejność ma znaczenie, więc stosujemy wariacje V(12,3).
Kod
Kod ma 4 znaki, każdy z 10 cyfr, cyfry mogą się powtarzać. Stosujemy wariacje z powtórzeniami: 10^4.
Urna z kulami
Losujemy 5 kul z 20 bez zwracania i chcemy dokładnie 2 czerwone. Stosujemy wzór z kombinacji.
Kombinacje, wariacje i permutacje – porównanie
| Cecha | Kombinacje | Wariacje | Permutacje |
|---|---|---|---|
| Kolejność ma znaczenie? | Nie | Tak | Tak |
| Czy wybieramy wszystkie elementy? | Nie zawsze | Zwykle część | Tak, wszystkie |
| Typowe słowa w zadaniu | wybierz, grupa, komisja | ustaw, kod, miejsca | kolejność, ustawienie, anagram |
| Przykład | 3 osoby z 10 | podium 3 osób z 10 | ustawienie 10 osób |
Przykład obliczeń krok po kroku
Z 10 osób wybieramy 3 osoby do delegacji. Kolejność nie ma znaczenia, więc liczymy kombinacje: C(10,3)=10!/(3!·7!)=120. Jeśli jednak wybieramy przewodniczącego, zastępcę i sekretarza, kolejność funkcji ma znaczenie, więc liczymy wariacje: V(10,3)=10·9·8=720.
W zadaniach z prawdopodobieństwa taka liczba może być mianownikiem ułamka P(A). Jeśli wybieramy 3 osoby z 10 i dokładnie 1 ma spełniać warunek, liczymy przypadki sprzyjające przez kombinacje, a potem dzielimy przez wszystkie możliwe wybory.
Zadania z odpowiedziami
Zadanie 1
Ile jest sposobów wyboru 3 osób z 8, jeśli kolejność nie ma znaczenia?
Zadanie 2
Ile jest sposobów ustawienia 5 książek na półce?
Zadanie 3
Ile jest kodów długości 4 z cyfr 0–9, jeśli cyfry mogą się powtarzać?
Zadanie 4
W urnie jest 10 kul, w tym 4 białe. Losujemy 3 kule. Jak zapisać prawdopodobieństwo dokładnie 2 białych?
Pokaż prawidłowe odpowiedzi
1) C(8,3)=56. 2) 5!=120. 3) 10^4=10000. 4) C(4,2)·C(6,1)/C(10,3)=36/120=30%.
Najczęstsze błędy w kombinatoryce i prawdopodobieństwie
- Mylenie kombinacji z wariacjami, czyli pomijanie pytania o kolejność.
- Używanie wzoru n^k przy zadaniu bez powtórzeń.
- Liczenie prawdopodobieństwa bez wcześniejszego policzenia wszystkich przypadków.
- Mylenie liczby elementów sprzyjających S z liczbą wymaganych sukcesów r.
- Pomijanie zdarzenia przeciwnego przy pytaniach typu „co najmniej jeden”.
- Zaokrąglanie wyników po drodze zamiast dopiero na końcu obliczeń.
Ciekawostka: „co najmniej jeden” często liczy się szybciej przez brak sukcesu
Jeśli pytanie brzmi „jakie jest prawdopodobieństwo, że trafi się co najmniej jeden sukces”, zwykle nie trzeba dodawać wielu przypadków. Można policzyć prawdopodobieństwo braku sukcesu i odjąć je od 1. Ten skrót jest szczególnie przydatny w losowaniach bez zwracania, loteriach i zadaniach z kartami.
Test: kolejność, powtórzenia i przypadki sprzyjające
Przed wybraniem wzoru wykonaj krótki test. Najpierw ustal, czy kolejność tworzy nowy wynik. Potem sprawdź, czy elementy mogą się powtarzać. Na końcu, jeśli zadanie dotyczy prawdopodobieństwa, rozdziel przypadki na wszystkie możliwe i sprzyjające. Ten schemat działa w większości typowych zadań szkolnych.
Jeśli zadanie mówi o wyborze grupy, komisji albo kart w ręce, zacznij od kombinacji. Jeśli mówi o kodach, hasłach, miejscach lub kolejności, zacznij od wariacji albo permutacji.
Wskazówka od KalkulatorXXL
W rozwiązaniu nie wpisuj samego wyniku. Najpierw dopisz jedno zdanie: „kolejność ma znaczenie” albo „kolejność nie ma znaczenia”. Potem wybierz wzór. Taki zapis jest czytelny i zmniejsza ryzyko pomylenia kombinacji z wariacją.
Co sprawdzić dalej przy prawdopodobieństwie?
Ta tablica jest dobrym punktem startowym, ale przy konkretnych zadaniach warto przejść do wyspecjalizowanego kalkulatora. Jeżeli zadanie dotyczy „A lub B”, części wspólnej albo niezależności, użyj kalkulatora zdarzeń niezależnych, sumy i iloczynu. Przy warunku i odwracaniu warunku lepszy będzie kalkulator prawdopodobieństwa warunkowego i Bayesa, a przy zadaniach etapowych kalkulator drzewka prawdopodobieństwa.
Rozkłady z liczbą sukcesów
Dla niezależnych prób wybierz rozkład dwumianowy Bernoulliego. Przy losowaniu bez zwracania użyj rozkładu hipergeometrycznego, który korzysta bezpośrednio z kombinacji.
Rozkłady z czasem i pierwszym sukcesem
Jeżeli pytanie brzmi „za którym razem pierwszy sukces”, przejdź do rozkładu geometrycznego. Jeśli znasz średnią liczbę zdarzeń λ, użyj rozkładu Poissona.
Tabela zmiennej losowej
Gdy masz wartości x i prawdopodobieństwa p, policz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe.
Nauka krok po kroku
Pełną ścieżkę rozpoznawania zadań znajdziesz w poradniku jak rozwiązywać zadania z prawdopodobieństwa.