W kalkulatorze wartości oczekiwanej i wariancji policzysz średni wynik zmiennej losowej
W kalkulatorze wartości oczekiwanej i wariancji wpisujesz możliwe wartości zmiennej losowej oraz prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Narzędzie liczy E(X), E(X²), wariancję, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności. To przydaje się w zadaniach typu „oblicz wartość oczekiwaną gry”, „jaka jest średnia wygrana”, „jak policzyć wariancję zmiennej losowej” albo „czy suma prawdopodobieństw musi dawać 1”.
Ten kalkulator uzupełnia rozkład dwumianowy Bernoulliego i rozkład hipergeometryczny. Tam parametry rozkładu są wpisywane według gotowego modelu, a tutaj możesz podać własną tabelę wartości i prawdopodobieństw. Do prostych zadań typu „ile wynosi P(A)” użyj kalkulatora prawdopodobieństwa klasycznego, a do zadań etapowych drzewka prawdopodobieństwa.
Wzór i logika obliczeń
Wartość oczekiwana
To średni wynik w długiej serii powtórzeń doświadczenia losowego.
Wariancja
Wariancja opisuje, jak mocno wyniki rozrzucają się wokół wartości oczekiwanej.
Kalkulator liczy też odchylenie standardowe, czyli pierwiastek z wariancji. Dzięki temu wynik jest w tej samej jednostce co wartości x. Jeżeli wartości oznaczają złote, odchylenie standardowe również jest w złotych.
Przykład obliczeń
W grze można wygrać 0 zł z prawdopodobieństwem 0,5, 10 zł z prawdopodobieństwem 0,3 oraz 30 zł z prawdopodobieństwem 0,2. Wartość oczekiwana wynosi:
Średni wynik w długiej serii takich gier wynosi 9 zł. Nie oznacza to, że w pojedynczej grze dokładnie tyle wygrasz. To średnia teoretyczna, która ujawnia się przy wielu powtórzeniach.
Zadania przykładowe
Zadanie 1
Zmienna losowa przyjmuje wartości 1, 2, 3 z prawdopodobieństwami 0,2, 0,5, 0,3. Oblicz E(X).
Rozwiązanie: 1·0,2 + 2·0,5 + 3·0,3 = 2,1.
Zadanie 2
Gra daje -5 zł z prawdopodobieństwem 0,6 albo 20 zł z prawdopodobieństwem 0,4. Oblicz wartość oczekiwaną.
Rozwiązanie: -5·0,6 + 20·0,4 = -3 + 8 = 5 zł.
Tabela referencyjna: jak czytać wyniki?
| Wynik | Znaczenie | Jak interpretować? |
|---|---|---|
| E(X) | Średni wynik teoretyczny | Im więcej powtórzeń, tym średnia z doświadczeń może zbliżać się do E(X). |
| Var(X) | Rozrzut wyników | Większa wariancja oznacza większą zmienność wyników. |
| σ | Odchylenie standardowe | Rozrzut podany w tej samej jednostce co wartości x. |
| Suma p | Kontrola prawdopodobieństw | Powinna wynosić 1, jeśli tabela opisuje pełny rozkład. |
Tabela porównawcza: kiedy użyć którego kalkulatora?
| Typ zadania | Najlepsze narzędzie | Przykład |
|---|---|---|
| Masz własną tabelę x i p | Wartość oczekiwana i wariancja | Wygrane, punkty, liczba błędów z podanymi szansami |
| Masz n prób i stałe p sukcesu | Rozkład dwumianowy | Dokładnie 3 sukcesy w 10 próbach |
| Losujesz bez zwracania | Rozkład hipergeometryczny | Karty, kule z urny, kontrola jakości |
| Warunek zmienia interpretację | Bayes i prawdopodobieństwo warunkowe | Test dodatni, przyczyna po znanym wyniku |
Ciekawostka
Wartość oczekiwana nie musi być jednym z możliwych wyników. W rzucie zwykłą kostką E(X)=3,5, chociaż nie da się wyrzucić 3,5 oczka. To średnia teoretyczna z bardzo wielu rzutów.
Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku
Błąd 1: suma prawdopodobieństw nie wynosi 1
Jeżeli tabela opisuje pełny rozkład, suma p powinna wynosić 1. Gdy jest inna, wynik może być tylko częściowy.
Błąd 2: procenty wpisane jak ułamki
25% to 0,25 w trybie dziesiętnym albo 25 w trybie procentowym.
Błąd 3: wariancja bez kwadratów
Do wariancji trzeba użyć kwadratów odchyleń albo wzoru E(X²)-[E(X)]².
Błąd 4: mylenie średniej z gwarantowanym wynikiem
Wartość oczekiwana opisuje średnią w długiej serii, a nie pewny wynik pojedynczej próby.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy zadaniach z wartością oczekiwaną zacznij od tabeli: w jednej kolumnie wartości x, w drugiej prawdopodobieństwa p. Potem sprawdź, czy prawdopodobieństwa sumują się do 1. Dopiero wtedy licz E(X), E(X²), wariancję i odchylenie standardowe.
Cała statystyka w jednym miejscu: Akademia statystyki, prawdopodobieństwa, rozkładów i analizy danych łączy statystykę opisową z kombinatoryką, prawdopodobieństwem, zmiennymi losowymi, rozkładami, regresją, przedziałami ufności i interpretacją wyników.