Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty.Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty.
Wpisz wartości zmiennej losowej i ich prawdopodobieństwa, a kalkulator obliczy E(X), wariancję, odchylenie standardowe oraz sprawdzi, czy suma prawdopodobieństw wynosi 1.
Wartości i prawdopodobieństwa
Każdy wiersz opisuje jedną możliwą wartość x i jej prawdopodobieństwo p. Pełny rozkład musi mieć sumę p równą 1.
E(X) • Var(X) • σ
Dane są poprawne: suma prawdopodobieństw wynosi 1 (100%).
Wynik rozkładu
Suma prawdopodobieństw
1 (100%)
Wartość oczekiwana E(X)
9
E(X²)
210
Wariancja Var(X)
129
Odchylenie standardowe σ
11,358
Współczynnik zmienności
126,198%
Interpretacja:
Rozkład jest kompletny. E(X) opisuje średni wynik teoretyczny, a σ pokazuje rozrzut w tej samej jednostce co x.
Składniki obliczeń
Zamiast szerokiej tabeli każdy wariant jest pokazany osobno, dzięki czemu wynik nie wymaga przewijania na telefonie.
Wariant 1: x = 0, p = 0,5
x·p = 0
x²·p = 0
(x−E(X))²·p = 40,5
Wariant 2: x = 10, p = 0,3
x·p = 3
x²·p = 30
(x−E(X))²·p = 0,3
Wariant 3: x = 30, p = 0,2
x·p = 6
x²·p = 180
(x−E(X))²·p = 88,2
Co policzysz tym kalkulatorem?
Wpisujesz możliwe wartości zmiennej losowej oraz prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Narzędzie liczy E(X), E(X²), wariancję, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności.
Wartość oczekiwana E(X) = Σ xᵢ · pᵢ. To średni wynik teoretyczny w długiej serii powtórzeń.
Wariancja i odchylenie Var(X) = E(X²) − [E(X)]², a σ = √Var(X).
Kalkulator wymaga pełnego rozkładu: suma prawdopodobieństw musi wynosić 1 (z niewielką tolerancją na zapis dziesiętny). Niepoprawna suma nie jest automatycznie normalizowana.
Przykład obliczeń
W grze można wygrać 0 zł z prawdopodobieństwem 0,5, 10 zł z prawdopodobieństwem 0,3 oraz 30 zł z prawdopodobieństwem 0,2.
E(X) = 0·0,5 + 10·0,3 + 30·0,2 = 9 zł.
Dla tych danych E(X²)=210, wariancja wynosi 129, a odchylenie standardowe około 11,358 zł. Wartość oczekiwana jest średnią teoretyczną, a nie gwarantowanym wynikiem pojedynczej gry.
Jak czytać wyniki?
E(X) Średni wynik teoretyczny przy bardzo wielu powtórzeniach.
Var(X) Miara rozrzutu wyników wokół wartości oczekiwanej.
σ Odchylenie standardowe w tej samej jednostce co wartości x.
Suma p Dla pełnego rozkładu powinna wynosić 1, czyli 100%.
Zadania przykładowe
Zadanie 1 x = 1, 2, 3 oraz p = 0,2; 0,5; 0,3. E(X) = 2,1.
Zadanie 2 −5 zł z p=0,6 albo 20 zł z p=0,4. E(X) = 5 zł.
Ciekawostka
Wartość oczekiwana nie musi być jednym z możliwych wyników. Dla zwykłej kostki E(X)=3,5, mimo że nie można wyrzucić 3,5 oczka.
Najczęstsze błędy
Suma p różna od 1 Pełny rozkład musi mieć sumę prawdopodobieństw równą 1.
Procenty wpisane jak ułamki 25% to 0,25 w trybie dziesiętnym albo 25 w trybie procentowym.
Prawdopodobieństwo poza zakresem Każde p musi należeć do przedziału od 0 do 1, czyli od 0% do 100%.
Średnia jako gwarantowany wynik E(X) opisuje długookresową średnią, nie wynik pojedynczej próby.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Zacznij od tabeli wartości x i prawdopodobieństw p. Najpierw sprawdź sumę p, a dopiero potem interpretuj E(X), wariancję i odchylenie standardowe.