Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty. Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty.
Przejdź do treści

Schemat Bernoulliego – kalkulator rozkładu dwumianowego

Policz prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów, co najwyżej, co najmniej albo w wybranym przedziale. Kalkulator pokazuje też wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe.

Dane do schematu Bernoulliego

Podaj liczbę prób, szansę sukcesu w jednej próbie i liczbę sukcesów, którą chcesz sprawdzić.
n • p • k
Np. 10 rzutów, 20 pytań albo 50 produktów.
Wpisz liczbę od 0 do 1. Dla 30% wpisz 0,30.
Dla przedziału k ≤ X ≤ m.
Kalkulator nie zmienia wpisanych danych. Jeśli k lub m są poza zakresem 0…n albo k jest większe od m, pokaże błąd zamiast liczyć inne zadanie.

Wynik

Prawdopodobieństwo
—
W zapisie dziesiętnym: —
Średnia liczba sukcesów
—
E(X) = np
Wariancja
—
Var(X) = np(1-p)
Odchylenie standardowe
—
√Var(X)
Wpisz dane, aby zobaczyć wynik.

Jak powstał wynik?

Wynik pojawi się po wpisaniu poprawnych danych.

Prawdopodobieństwa dla poszczególnych liczb sukcesów

Wpisz dane, aby zobaczyć wartości P(X=k).

Masz zadanie ze schematu Bernoulliego? Wpisz n, p i k, a od razu zobaczysz wynik dla dokładnie, co najmniej albo co najwyżej tylu sukcesów. Kalkulator pokaże też średnią liczbę sukcesów oraz rozrzut wyników.

Jeśli losujesz bez zwracania, przejdź do rozkładu hipergeometrycznego. Jeśli interesuje Cię, za którym razem pojawi się pierwszy sukces, użyj rozkładu geometrycznego. Przy kilku zależnych etapach pomocne będzie drzewko prawdopodobieństwa.

Schemat Bernoulliego a rozkład dwumianowy

Jedna próba Bernoulliego ma dwa wyniki: sukces albo porażkę. Gdy taką samą, niezależną próbę powtarzasz n razy i za każdym razem prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, liczba sukcesów ma rozkład dwumianowy.

To dlatego w zadaniach szkolnych spotkasz zarówno nazwę schemat Bernoulliego, jak i rozkład dwumianowy. Kalkulator dotyczy liczby sukcesów w całej serii prób.

Wzór na dokładnie k sukcesów

P(X = k) = C(n,k) · pk · (1-p)n-k

C(n,k) mówi, na ile sposobów można wybrać miejsca k sukcesów wśród n prób. Dla „co najmniej”, „co najwyżej” albo przedziału kalkulator dodaje prawdopodobieństwa odpowiednich wartości k.

Dodatkowo: E(X)=np, Var(X)=np(1-p), a odchylenie standardowe wynosi √(np(1-p)).

Przykład: 3 sukcesy w 10 próbach

Dla n=10, p=0,30 i k=3:

P(X = 3) = C(10,3) · 0,33 · 0,77

Jeśli w zadaniu najpierw potrzebujesz samej liczby kombinacji, skorzystaj z kalkulatora silni i symbolu Newtona.

Kiedy ten sposób liczenia pasuje?

Stała liczba prób
Z góry wiadomo, ile razy powtarzasz doświadczenie, np. 10 rzutów.
Dwa możliwe wyniki
Każda próba kończy się sukcesem albo porażką.
Ta sama szansa sukcesu
Wartość p nie zmienia się między próbami.
Próby są niezależne
Wynik jednej próby nie zmienia szansy w kolejnej.

Najczęstsze pomyłki

  • 30% to p=0,30, a nie p=30.
  • „Dokładnie 3” oznacza tylko X=3, a „co najmniej 3” obejmuje 3, 4, 5… aż do n.
  • Przy losowaniu bez zwracania szansa sukcesu zwykle się zmienia, więc lepszy jest rozkład hipergeometryczny.
  • Liczba sukcesów k musi być liczbą całkowitą od 0 do n.

Ciekawostka

Gdy p=0,5, rozkład jest symetryczny: tyle samo wynosi prawdopodobieństwo k sukcesów i n-k sukcesów. Dlatego przy uczciwej monecie wyniki skupiają się wokół połowy liczby rzutów.

Co warto policzyć dalej?

Losowanie bez zwracania
Policz sukcesy, gdy po każdym losowaniu zmienia się skład zbioru.
Pierwszy sukces
Sprawdź prawdopodobieństwo, że pierwszy sukces pojawi się w konkretnej próbie.
Drzewko prawdopodobieństwa
Rozpisz kilka etapów i połącz prawdopodobieństwa ścieżek.
Statystyka i prawdopodobieństwo
Przejdź do innych rozkładów, testów i narzędzi do analizy danych.

Wskazówka od KalkulatorXXL

Jeśli zadanie mówi „co najmniej”, wybierz tę opcję zamiast liczyć tylko jedną wartość k. To jedna z najczęstszych pomyłek w zadaniach ze schematu Bernoulliego.

Przed obliczeniem sprawdź też, czy szansa sukcesu jest taka sama w każdej próbie i czy próby nie wpływają na siebie.

FAQ - rozkład dwumianowy Bernoulliego

Rozkładu dwumianowego używa się wtedy, gdy mamy stałą liczbę niezależnych prób, dwa możliwe wyniki i stałe prawdopodobieństwo sukcesu.

Stosuje się wzór P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k), gdzie n to liczba prób, k liczba sukcesów, a p szansa sukcesu.

p oznacza prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie. Jeśli sukces ma szansę 30%, w kalkulatorze wpisz 0,30.

Dokładnie k to jedna wartość, na przykład X=3. Co najmniej k oznacza sumę wielu wartości, na przykład X=3,4,5 aż do n.

Zwykle nie, bo po losowaniu bez zwracania zmienia się prawdopodobieństwo sukcesu. W takim zadaniu lepszy jest model hipergeometryczny.

Wartość oczekiwana wynosi E(X)=np, czyli liczba prób razy prawdopodobieństwo sukcesu.

Wariancja wynosi Var(X)=np(1-p), a odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji.

Pojedyncza próba Bernoulliego ma dwa wyniki: sukces albo porażka. Rozkład dwumianowy opisuje liczbę sukcesów w wielu takich próbach.

Ostatnia aktualizacja: 29.09.2026

Popularne w tej kategorii

Kalkulator liczb rzymskichPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator wspólnego mianownika ułamkówPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator działań pisemnych
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator procentów
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.