Kalkulator modułu i argumentu liczby zespolonej

Zostań w temacie i policz dalej

Moduł i argument są punktem wyjścia do większości zadań z liczbami zespolonymi. Po wyznaczeniu długości i kąta zwykle przechodzi się do działań algebraicznych, potęgowania, pierwiastkowania albo sprawdzania gotowych wzorów. Poniższe strony tworzą spójną ścieżkę nauki i pozwalają przejść od pojedynczej liczby do pełnych obliczeń.

KalkulatorDziałania na liczbach zespolonychDodawaj, odejmuj, mnóż i dziel liczby zapisane jako a + bi.

De MoivrePotęgi i pierwiastki zespoloneWykorzystaj moduł i argument do potęgowania oraz wyznaczania pierwiastków.

TablicaLiczby zespolone - wzoryPowtórz sprzężenie, moduł, argument, postacie i wzór de Moivre’a.

PoradnikJak liczyć liczby zespolone?Przejdź przez cały temat krok po kroku i zobacz przykłady z wyjaśnieniem.

Rozszerz temat w KalkulatorXXL

AkademiaAkademia algebryPołącz liczby zespolone z równaniami, wielomianami i przekształceniami.

Pełny kontekst tego obliczenia znajdziesz również w Akademia algebry.

Co oblicza kalkulator modułu i argumentu?

Liczba zespolona ma postać z = a + bi, gdzie a jest częścią rzeczywistą, b częścią urojoną, a i² = -1. Ten sam obiekt można traktować jak punkt o współrzędnych (a, b) na płaszczyźnie zespolonej. Dzięki temu liczba ma nie tylko zapis algebraiczny, ale również długość i kierunek.

Kalkulator wyznacza moduł, argument główny, argument dodatni, rodzinę wszystkich argumentów, ćwiartkę lub oś, na której leży punkt, sprzężenie, odwrotność oraz postać trygonometryczną i wykładniczą. Dodatkowe pole z potęgą pozwala sprawdzić wzór de Moivre’a dla dodatnich i ujemnych wykładników całkowitych, a także przypadek wykładnika zero.

Wynik jest przydatny w zadaniach szkolnych, na maturze rozszerzonej, na pierwszych kursach matematyki wyższej oraz wszędzie tam, gdzie pojawiają się obroty, drgania, sygnały albo równania z pierwiastkami zespolonymi. Kalkulator pokazuje zarówno wynik liczbowy, jak i sposób podstawienia, dlatego może służyć do kontroli samodzielnie wykonanego rozwiązania.

Moduł liczby zespolonej - długość wektora

Moduł liczby zespolonej z = a + bi zapisujemy jako |z|. Geometrycznie jest to odległość punktu (a, b) od początku układu współrzędnych. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy wzór:

|z| = √(a² + b²)

Dla liczby 3 + 4i moduł wynosi √(3² + 4²) = √25 = 5. Dla liczby -3 - 4i wynik jest taki sam, ponieważ podnoszenie do kwadratu usuwa znaki. Moduł nigdy nie jest ujemny. Jest równy zero wyłącznie dla liczby 0 + 0i.

Jeżeli części są całkowite, kalkulator próbuje podać również uproszczony pierwiastek, na przykład √20 = 2√5. Wartość dziesiętna pozostaje jednak przybliżeniem i jej dokładność zależy od wybranego zaokrąglenia. W rozwiązaniu szkolnym, gdy polecenie wymaga wartości dokładnej, najlepiej zachować pierwiastek zamiast przepisywać tylko rozwinięcie dziesiętne.

Argument liczby zespolonej i poprawna ćwiartka

Argument liczby zespolonej jest kątem skierowanym od dodatniej półosi rzeczywistej do wektora prowadzącego do punktu (a, b). Samo użycie wzoru arctg(b/a) bywa niebezpieczne, ponieważ tangens ma ten sam wynik dla kątów różniących się o 180°. Trzeba jeszcze rozpoznać ćwiartkę.

Dlatego kalkulator korzysta z funkcji atan2(b, a). Funkcja otrzymuje osobno obie współrzędne i na podstawie ich znaków wybiera prawidłowy kierunek. Dla -2 + 2i wynik to 135°, a nie -45°. Dla -3 - 4i argument główny jest ujemny i wynosi około -126,87°, natomiast argument dodatni ma około 233,13°.

Gdy punkt leży na osi, kąt jest szczególny: dodatnia oś rzeczywista odpowiada 0°, dodatnia oś urojona 90°, ujemna oś rzeczywista 180°, a ujemna oś urojona -90° albo 270°. Dla zera kierunek nie istnieje, dlatego argument liczby 0 nie jest określony.

Argument główny, dodatni i wszystkie argumenty

Ten sam kierunek można opisać wieloma kątami. Obrót o pełne 360° prowadzi do tego samego punktu, dlatego liczba zespolona ma nieskończenie wiele argumentów. Jeżeli jeden argument wynosi φ, wszystkie pozostałe zapisujemy jako:

arg(z) = φ + 360°k = φ + 2πk, gdzie k ∈ ℤ

Argument główny najczęściej wybiera się z przedziału (-180°, 180°], czyli (-π, π]. Argument dodatni należy do przedziału [0°, 360°). Dla liczby z czwartej ćwiartki argument główny jest ujemny, a dodatni otrzymujemy przez dodanie 360°. Obie wartości opisują dokładnie ten sam kierunek.

W zadaniu trzeba sprawdzić, której konwencji wymaga polecenie. Sformułowanie „argument główny” oznacza pojedynczą wartość z ustalonego przedziału. Polecenie „podaj wszystkie argumenty” wymaga dopisania składnika 2πk. Kalkulator pokazuje oba zapisy, aby nie pomylić pojedynczego kąta z całą rodziną rozwiązań.

Dlaczego argument główny „przeskakuje” przy ujemnej osi?

Przedział argumentu głównego ma umowną granicę. Gdy punkt zbliża się do ujemnej osi rzeczywistej od góry, kąt dąży do 180°. Gdy przejdzie minimalnie pod tę oś, argument główny staje się wartością bliską -180°. Punkt przesunął się bardzo mało, lecz zapis kąta zmienił znak i pozornie wykonał duży skok.

Nie jest to błąd kalkulatora. Wartości 179,9° oraz -180,1° opisują niemal ten sam kierunek, a po sprowadzeniu do ustalonego przedziału drugi kąt można zapisać jako 179,9°. W trybie argumentu dodatniego podobny przeskok występuje między wartościami bliskimi 360° i 0°.

Ta umowna linia podziału bywa nazywana cięciem gałęzi. Ma znaczenie w bardziej zaawansowanych działaniach, takich jak logarytm zespolony i potęgi o niecałkowitym wykładniku. W prostych zadaniach wystarczy pamiętać, że kąty różniące się o 360° lub 2π wskazują ten sam kierunek. Dlatego przed porównaniem dwóch argumentów warto sprowadzić je do tego samego zakresu.

Postać trygonometryczna i wykładnicza

Jeżeli r = |z|, a φ jest argumentem, liczbę można zapisać w postaci trygonometrycznej:

z = r(cos φ + i sin φ)

Po skorzystaniu ze wzorów a = r cos φ i b = r sin φ wracamy do postaci algebraicznej. Dla liczby 3 + 4i otrzymujemy 5(cos 53,13° + i sin 53,13°). Taki zapis jest dłuższy przy dodawaniu, ale znacznie wygodniejszy przy mnożeniu, dzieleniu, potęgowaniu i pierwiastkowaniu.

Równoważna postać wykładnicza korzysta ze wzoru Eulera:

z = re^iφ

W wykładniku kąt powinien być rozumiany w radianach. Dlatego kalkulator podaje argument równocześnie w stopniach i radianach. Dla kątów szczególnych pokazuje także zapis z π, na przykład 135° = 3π/4.

Sprzężenie i odwrotność liczby zespolonej

Sprzężeniem liczby z = a + bi jest liczba z̄ = a - bi. Na płaszczyźnie oznacza to odbicie punktu względem osi rzeczywistej. Moduł sprzężenia jest taki sam jak moduł liczby początkowej, a argument zmienia znak, z uwzględnieniem przyjętego zakresu.

Iloczyn liczby i jej sprzężenia jest rzeczywisty:

z · z̄ = a² + b² = |z|²

Ta własność pozwala wyznaczyć odwrotność. Dla z ≠ 0 mamy:

1/z = z̄/|z|² = a/(a²+b²) - b/(a²+b²)i

Dla zera odwrotność nie istnieje, ponieważ wymagałaby dzielenia przez zero. Kalkulator pokazuje zarówno wzór ze sprzężeniem, jak i przybliżoną postać algebraiczną odwrotności.

Potęgowanie ze wzoru de Moivre’a

Dla liczby zapisanej jako z = r(cos φ + i sin φ) i całkowitego wykładnika n obowiązuje wzór:

zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ)

Potęgowanie modułu zmienia długość, a pomnożenie argumentu przez n odpowiada wielokrotnemu obrotowi. Dla dodatniego n jest to klasyczne potęgowanie. Dla n = 0 każda niezerowa liczba zespolona daje 1. Dla ujemnego n wynik oznacza odwrotność odpowiedniej potęgi i istnieje tylko wtedy, gdy z ≠ 0.

Szczególnej ostrożności wymaga liczba zero. Dla dodatniego wykładnika 0ⁿ = 0. Wyrażenie 0⁰ kalkulator oznacza jako nieokreślone w tym kontekście, a potęga z ujemnym wykładnikiem nie istnieje. Poprzednia wersja narzędzia traktowała każdy z tych przypadków jak zwykłe zero, dlatego obecnie są one rozdzielone.

Kalkulator pokazuje wynik potęgi w postaci trygonometrycznej oraz przybliżonej postaci algebraicznej. Do pełnych zadań z wieloma pierwiastkami przejdź do kalkulatora potęg i pierwiastków liczb zespolonych.

Przykłady w czterech ćwiartkach

Liczba	Położenie	Moduł	Argument główny	Argument dodatni
3 + 4i	I ćwiartka	5	około 53,13°	około 53,13°
-2 + 2i	II ćwiartka	2√2	135°	135°
-3 - 4i	III ćwiartka	5	około -126,87°	około 233,13°
5 - 5i	IV ćwiartka	5√2	-45°	315°
-4	ujemna oś rzeczywista	4	180°	180°
2i	dodatnia oś urojona	2	90°	90°

Kąty szczególne i dokładne wartości argumentu

Nie każdy argument trzeba zostawiać jako przybliżenie z kalkulatora. Gdy współrzędne tworzą charakterystyczne proporcje, kąt można zapisać dokładnie. Dla punktu (1,1) argument wynosi 45° = π/4, ponieważ obie współrzędne są równe. Dla punktu (1,√3) otrzymujemy 60° = π/3, a dla (√3,1) kąt 30° = π/6.

W innych ćwiartkach korzystamy z tego samego kąta odniesienia, lecz uwzględniamy położenie punktu. Liczba -1 + i ma kąt odniesienia 45°, ale leży w II ćwiartce, więc jej argument wynosi 135° = 3π/4. Liczba -1 - i leży w III ćwiartce: argument główny to -135° = -3π/4, a dodatni 225° = 5π/4. Dla 1 - i otrzymujemy -45° albo 315°.

Dokładny zapis jest szczególnie ważny przy wzorze de Moivre’a. Mnożenie ułamków z π daje wynik dokładny, natomiast wcześniejsze zaokrąglenie kąta może po podniesieniu do wysokiej potęgi wywołać zauważalny błąd. Dlatego kalkulator rozpoznaje proste ułamki kąta π, a obok podaje również wartość dziesiętną w radianach.

Kąt	Radiany	Typowa proporcja \|b/a\|
30°	π/6	1/√3
45°	π/4	1
60°	π/3	√3
90°	π/2	a = 0, b > 0
180°	π	b = 0, a < 0

Jak ręcznie dobrać argument bez funkcji atan2?

Jeżeli w zadaniu nie wolno użyć funkcji atan2, najpierw oblicz kąt pomocniczy α = arctg(|b/a|). Jest to ostry kąt odniesienia między wektorem a najbliższą częścią osi rzeczywistej. Następnie popraw wynik zgodnie z ćwiartką. W I ćwiartce argument główny jest równy α. W II ćwiartce wynosi 180° - α. W III ćwiartce można zapisać -180° + α jako argument główny albo 180° + α jako dodatni. W IV ćwiartce argument główny to -α, a dodatni 360° - α.

Przykład: dla z = -3 + 3i mamy |b/a| = 1, więc α = 45°. Punkt leży w II ćwiartce, dlatego argument wynosi 180° - 45° = 135°. Dla z = -3 - 3i kąt odniesienia nadal ma 45°, lecz punkt leży w III ćwiartce. Argument główny to -135°, a dodatni 225°.

Osobno traktujemy osie. Gdy a = 0, nie dzielimy b przez a, ponieważ oznaczałoby to dzielenie przez zero. Odczytujemy wtedy bezpośrednio 90° albo -90°. Gdy b = 0, argument wynosi 0° lub 180° zależnie od znaku a. Ten prosty algorytm wyjaśnia, dlaczego funkcja atan2 jest bezpieczniejsza: wykonuje rozpoznanie osi i ćwiartek automatycznie.

Najważniejsze własności modułu

Moduł zachowuje się podobnie do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej. Spełnia |z| ≥ 0, a równanie |z| = 0 zachodzi wyłącznie dla z = 0. Sprzężenie nie zmienia długości, dlatego |z̄| = |z|. Odwrotność niezerowej liczby ma moduł |1/z| = 1/|z|.

Przy mnożeniu moduły się mnożą: |z₁z₂| = |z₁||z₂|. Przy dzieleniu otrzymujemy |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|, o ile z₂ ≠ 0. To właśnie dlatego w postaci trygonometrycznej mnożenie jest tak wygodne. Zamiast rozwijać nawiasy z jednostką i, można osobno pomnożyć długości oraz dodać kąty.

Dla sumy nie ma równie prostego wzoru, ale obowiązuje nierówność trójkąta |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|. Geometrycznie oznacza ona, że bezpośrednia droga do punktu końcowego nie jest dłuższa niż droga złożona z dwóch kolejnych wektorów. W zadaniach można użyć tej własności do oszacowania wyniku albo sprawdzenia, czy otrzymany moduł nie jest niemożliwie duży.

Równanie |z| = r opisuje okrąg o środku w zerze i promieniu r. Nierówność |z| < r opisuje wnętrze koła, a |z - z₀| = r okrąg przesunięty, którego środek odpowiada liczbie z₀. Dzięki temu moduł łączy rachunek zespolony z geometrią analityczną.

Od modułu i argumentu do pierwiastków oraz równań

Wyznaczenie modułu i argumentu jest konieczne przed obliczaniem pierwiastków zespolonych. Jeżeli z = r(cos φ + i sin φ), pierwiastki stopnia n mają moduł ⁿ√r, a ich argumenty powstają z wartości (φ + 2πk)/n. Dla k = 0, 1, ..., n-1 otrzymujemy dokładnie n różnych pierwiastków rozmieszczonych równomiernie na okręgu.

Przykładowo równanie w² = -1 zaczynamy od liczby -1, której moduł wynosi 1, a argument może być zapisany jako π + 2πk. Po podzieleniu kąta przez 2 otrzymujemy π/2 i 3π/2, czyli pierwiastki i oraz -i. To pokazuje, że rodzina wszystkich argumentów nie jest dodatkiem teoretycznym, lecz bezpośrednio decyduje o liczbie i położeniu rozwiązań.

Podobny mechanizm działa w równaniach typu zⁿ = w. Najpierw zapisujemy prawą stronę w postaci trygonometrycznej, następnie pierwiastkujemy moduł i dzielimy wszystkie możliwe kąty przez n. Do takich obliczeń służy osobny kalkulator potęg i pierwiastków liczb zespolonych, a bieżące narzędzie przygotowuje wszystkie potrzebne dane wejściowe.

Sprawdź się - odpowiedzi są ukryte

Najpierw oblicz moduł lub argument samodzielnie. Potem rozwiń wynik i porównaj tok rozumowania.

Zadanie 1: z = 1 + √3i

Oblicz moduł, argument główny i postać trygonometryczną.

Zadanie 2: z = -4 - 4i

Wyznacz moduł, argument główny i argument dodatni.

Zadanie 3: z = -5

Podaj położenie, moduł i wszystkie argumenty.

Zadanie 4: z = 2i, n = -2

Oblicz z^-2 ze wzoru de Moivre’a.

Jak sprawdzić wynik, wracając do postaci a + bi?

Najprostsza kontrola polega na wykorzystaniu zależności a = r cos φ oraz b = r sin φ. Jeżeli kalkulator podał moduł 5 i argument około 53,13°, obliczamy 5 cos 53,13° ≈ 3 oraz 5 sin 53,13° ≈ 4. Otrzymujemy ponownie liczbę 3 + 4i.

Druga kontrola dotyczy modułu. Po podniesieniu części rzeczywistej i urojonej do kwadratu ich suma powinna być równa r². Trzecia kontrola wykorzystuje znaki: dodatnie a i b muszą prowadzić do pierwszej ćwiartki, ujemne a i dodatnie b do drugiej, oba ujemne do trzeciej, a dodatnie a i ujemne b do czwartej.

Przy potędze warto sprawdzić moduł wyniku. Powinien być równy |z|ⁿ. Jeżeli potęga jest ujemna, moduł wyniku jest odwrotnością dodatniej potęgi modułu. Takie szybkie testy pozwalają zauważyć pomyloną ćwiartkę, znak części urojonej albo błędne przeliczenie stopni na radiany.

Najczęstsze błędy w zadaniach

Użycie arctg(b/a) bez sprawdzenia ćwiartki. Dla ujemnego a wynik może wskazać kąt po przeciwnej stronie płaszczyzny.
Podanie jednego kąta zamiast wszystkich argumentów. Pełna rodzina wymaga dopisania 2πk.
Pomieszanie stopni i radianów. W postaci wykładniczej kąt standardowo interpretuje się w radianach.
Wyznaczanie argumentu zera. Liczba 0 ma moduł 0, ale nie ma określonego kierunku.
Niepoprawna potęga zera. Dodatni wykładnik daje zero, ale wykładnik zerowy i ujemny wymagają osobnego potraktowania.
Zaokrąglenie zbyt wcześnie. Kąt i moduł najlepiej zaokrąglić dopiero na końcu obliczeń.
Brak znaku przy części urojonej odwrotności. We wzorze pojawia się sprzężenie, więc znak b zostaje odwrócony.

Ciekawostka: mnożenie liczb zespolonych to skalowanie i obrót

W postaci trygonometrycznej podczas mnożenia mnożymy moduły i dodajemy argumenty. Oznacza to, że jedna liczba zespolona może działać jak instrukcja: „wydłuż wektor tyle razy i obróć go o taki kąt”. Ta interpretacja jest wykorzystywana w opisie drgań, prądu przemiennego, przetwarzaniu sygnałów, grafice oraz równaniach różniczkowych.

Dla maturzystów i studentów pierwszego roku

W zadaniu egzaminacyjnym warto zachować stałą kolejność: najpierw zapisz a i b, następnie oblicz moduł, zaznacz punkt albo przynajmniej określ ćwiartkę, dopiero potem wyznacz argument. Na końcu zapisz wymaganą postać i sprawdź, czy polecenie oczekuje stopni, radianów, argumentu głównego czy wszystkich argumentów.

Na studiach częściej pojawia się postać wykładnicza, argument wielowartościowy oraz potęgi z wykładnikami ujemnymi. W elektrotechnice i analizie sygnałów liczby zespolone opisują amplitudę i fazę. Wtedy moduł odpowiada wielkości sygnału, a argument przesunięciu fazowemu. Zasada obliczeń pozostaje jednak taka sama jak w prostym przykładzie 3 + 4i.

Kalkulator może służyć do kontroli wyniku, ale nie powinien zastępować rozpoznania ćwiartki. Nawet szybki szkic punktu na płaszczyźnie często pozwala wykryć wynik różniący się o 180° albo niewłaściwy znak kąta.

Praktyczny schemat rozwiązywania zadania

Odczytaj część rzeczywistą a i współczynnik b przy jednostce i.
Oblicz moduł ze wzoru √(a²+b²) i pozostaw dokładny pierwiastek, jeśli można.
Ustal ćwiartkę na podstawie znaków a i b.
Wyznacz argument funkcją atan2 albo skoryguj arctangens zgodnie z ćwiartką.
Sprawdź wymagany zakres argumentu i zapisz wszystkie argumenty, gdy wymaga tego polecenie.
Wstaw r i φ do postaci trygonometrycznej lub wykładniczej.
Skontroluj wynik przez r cos φ i r sin φ.

Wskazówka od KalkulatorXXL

Nie zaczynaj od kalkulatora kąta. Najpierw zaznacz znaki a i b oraz ćwiartkę. Dopiero później oblicz wartość argumentu. Dzięki temu od razu wiesz, czy kąt powinien być dodatni, ujemny, większy od 90° albo równy jednemu z kątów osiowych. Przy wyniku dziesiętnym zachowaj więcej cyfr w obliczeniach i zaokrąglij dopiero końcową odpowiedź.

FAQ - najczęstsze pytania

Jak obliczyć moduł liczby zespolonej?

Dla z = a + bi użyj wzoru |z| = √(a²+b²). Moduł jest odległością punktu (a,b) od początku płaszczyzny zespolonej i nigdy nie jest ujemny.

Jak obliczyć argument liczby zespolonej?

Argument jest kątem wektora liczby zespolonej z dodatnią półosią rzeczywistą. Najbezpieczniej użyć atan2(b,a), ponieważ funkcja uwzględnia znaki obu współrzędnych i wybiera poprawną ćwiartkę.

Czym różni się argument główny od argumentu dodatniego?

Argument główny jest zwykle wybierany z przedziału (-180°,180°], a dodatni z [0°,360°). Dla liczby w IV ćwiartce mogą to być na przykład -45° i 315°.

Jak zapisać wszystkie argumenty liczby zespolonej?

Jeżeli jeden argument wynosi φ, wszystkie argumenty mają postać φ + 360°k albo φ + 2πk, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.

Czy liczba zespolona 0 ma argument?

Nie. Liczba 0 + 0i ma moduł równy 0, ale nie wyznacza żadnego kierunku, dlatego jej argument nie jest określony.

Jak rozpoznać ćwiartkę liczby zespolonej?

Sprawdź znaki a i b. Dodatnie a i b oznaczają I ćwiartkę, ujemne a i dodatnie b II, oba ujemne III, a dodatnie a i ujemne b IV ćwiartkę.

Co się dzieje, gdy liczba leży na osi?

Argument ma wtedy wartość szczególną: 0° na dodatniej osi rzeczywistej, 90° na dodatniej osi urojonej, 180° na ujemnej osi rzeczywistej oraz -90° lub 270° na ujemnej osi urojonej.

Co oznacza postać trygonometryczna liczby zespolonej?

Jest to zapis z = r(cosφ + i sinφ), gdzie r jest modułem, a φ argumentem. Postać ta jest wygodna przy mnożeniu, dzieleniu, potęgowaniu i pierwiastkowaniu.

Co oznacza postać wykładnicza re do potęgi iφ?

Zapis z = re^(iφ) jest równoważny postaci trygonometrycznej dzięki wzorowi Eulera. W wykładniku kąt standardowo zapisuje się w radianach.

Jak sprawdzić postać trygonometryczną?

Oblicz a = r cosφ i b = r sinφ. Jeżeli otrzymasz pierwotne części rzeczywistą i urojoną, zapis jest poprawny.

Jak obliczyć sprzężenie liczby zespolonej?

Dla z = a + bi sprzężenie ma postać z̄ = a - bi. Zmieniasz tylko znak części urojonej.

Jak obliczyć odwrotność liczby zespolonej?

Dla z ≠ 0 użyj wzoru 1/z = z̄/|z|² = a/(a²+b²) - b/(a²+b²)i. Liczba zero nie ma odwrotności.

Jak działa wzór de Moivre’a?

Dla z = r(cosφ + i sinφ) mamy zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ). Wzór działa dla całkowitych wykładników, a przy wykładnikach ujemnych z musi być różne od zera.

Ile wynosi niezerowa liczba zespolona do potęgi zero?

Każda niezerowa liczba zespolona podniesiona do potęgi 0 jest równa 1. Przypadek 0⁰ nie jest w tym kalkulatorze traktowany jako zwykła potęga o ustalonej wartości.

Czy można podnosić liczbę zespoloną do ujemnej potęgi?

Tak, jeżeli liczba jest niezerowa. Potęga z ujemnym wykładnikiem jest odwrotnością odpowiedniej potęgi dodatniej.

Czy moduł liczby zespolonej może być ujemny?

Nie. Moduł jest długością, dlatego zawsze spełnia |z| ≥ 0. Jest równy zero tylko dla z = 0.

Dlaczego sam arctangens b/a może dać zły argument?

Tangens nie rozróżnia kierunków różniących się o 180°. Gdy a jest ujemne, trzeba skorygować kąt zgodnie z ćwiartką albo użyć funkcji atan2(b,a).

Czy argument lepiej podawać w stopniach czy radianach?

Zależy od polecenia. W zadaniach szkolnych często używa się stopni, natomiast w postaci wykładniczej, analizie matematycznej i wzorach teoretycznych częściej stosuje się radiany.

Jak zapisać dokładny moduł zamiast liczby dziesiętnej?

Pozostaw wynik pod pierwiastkiem i uprość go, na przykład √20 = 2√5. Kalkulator pokazuje uproszczony zapis dla odpowiednich całkowitych części a i b.

Do czego przydają się moduł i argument?

Są potrzebne przy postaci trygonometrycznej i wykładniczej, potęgach, pierwiastkach, równaniach zespolonych, obrotach, drganiach, prądzie przemiennym i przetwarzaniu sygnałów.

Ostatnia aktualizacja: 29.09.2026