Masz wynik? Sprawdź następny krok
Po rozwiązaniu równania możesz sprawdzić działania na liczbach zespolonych, moduł i argument, potęgi albo przejść do całego działu algebry.
Do czego służy kalkulator równań z liczbami zespolonymi?
W kalkulatorze równań z liczbami zespolonymi możesz szybko rozwiązać równanie, w którym niewiadoma jest liczbą zespoloną. To przydatne, gdy w zadaniu pojawia się zapis z=x+yi, sprzężenie z̄, część rzeczywista, część urojona albo proste równanie typu az+b=c.
Ten kalkulator uzupełnia działania na liczbach zespolonych, a do interpretacji wyniku warto użyć także narzędzia moduł i argument liczby zespolonej.
Wzór i sposób liczenia
Równanie az+b=c
Najpierw przenosimy b na prawą stronę, a potem dzielimy przez a:
Dla a=0 trzeba sprawdzić, czy równanie jest sprzeczne, czy ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Równanie az+bz̄=c
Podstawiamy z=x+yi oraz z̄=x-yi. Po wymnożeniu porównujemy część rzeczywistą i urojoną.
(a₂+b₂)x + (a₁-b₁)y = c₂
Otrzymujemy dwa równania z niewiadomymi x i y.
Przykład obliczeń
Rozwiążmy równanie (2+i)z+(1-2i)=5+4i. Najpierw przenosimy wyraz wolny:
Następnie dzielimy przez 2+i. Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika:
Ostatecznie z=2,8+1,6i.
Zadania przykładowe
Zadanie 1
Rozwiąż równanie (1-i)z+3=2+5i.
Pokaż odpowiedź
Po przeniesieniu: (1-i)z=-1+5i. Po podzieleniu przez 1-i otrzymujemy z=-3+2i.
Zadanie 2
Rozwiąż równanie 2z+z̄=9+i.
Pokaż odpowiedź
Dla z=x+yi mamy 2(x+yi)+(x-yi)=3x+yi. Stąd x=3 oraz y=1, czyli z=3+i.
Co zrobić z typowym równaniem?
az+b=c
Przenieś b, potem podziel przez a. Nie dziel przez 0, a przy dzieleniu przez liczbę zespoloną użyj sprzężenia.
az+bz̄=c
Podstaw z=x+yi i z̄=x-yi, a potem porównaj osobno część rzeczywistą i urojoną.
Re(z)=a albo Im(z)=b
Zapisz z=x+yi i odczytaj warunek dla x lub y. Wynikiem często jest cała prosta, a nie jedna liczba.
|z|=r
Użyj x²+y²=r². Taki warunek zwykle opisuje okrąg, a nie jedną liczbę.
Ciekawostka: równanie ze sprzężeniem zmienia charakter zadania
Równanie az+b=c przypomina zwykłe równanie liniowe. Gdy pojawia się z̄, sprzężenie zmienia znak części urojonej i po podstawieniu z=x+yi otrzymujemy dwa równania dla x i y.
Najczęstsze błędy
- Mylenie z i z̄: jeśli z=x+yi, to z̄=x-yi. Zmienia się tylko znak części urojonej.
- Dzielenie bez sprzężenia: przy dzieleniu przez a+bi pomnóż licznik i mianownik przez a-bi.
- Pomijanie części urojonej: równanie zespolone oznacza jednocześnie warunek dla części rzeczywistej i urojonej.
- Brak sprawdzenia: po znalezieniu z podstaw wynik do równania i sprawdź, czy lewa strona daje prawą stronę.
Równanie jako punkt na płaszczyźnie zespolonej
Gdy wynik jest jedną liczbą
Równanie wskazuje konkretny punkt (x,y) na płaszczyźnie zespolonej. Taki wynik można opisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej albo przez moduł i argument.
Gdy wynik jest warunkiem
Niektóre równania, np. |z|=3 albo Re(z)=2, opisują całe zbiory punktów. Wynikiem może być okrąg, prosta albo inny obszar.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Jeśli w równaniu jest tylko z, najpierw przenieś wyraz wolny i podziel przez współczynnik przy z. Jeśli widzisz z̄, od razu podstaw z=x+yi. To ułatwia pilnowanie znaków.
Cała algebra w jednym miejscu: Akademia algebry – wzory, równania, funkcje i wielomiany.
FAQ - kalkulator równań z liczbami zespolonymi
Ostatnia aktualizacja: 29.09.2026