Tablica pędu, impulsu i zderzeń
Najważniejsze wzory z pędu i zderzeń: p=m·v, J=F·t, Δp, zachowanie pędu, zderzenia sprężyste, niesprężyste i współczynnik restytucji.
W tablicy wzorów z pędu, impulsu i zderzeń znajdziesz zależności, które najczęściej pojawiają się w zadaniach z dynamiki: p = m·v, J = F·t, J = Δp, m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′ oraz wzory na zderzenia całkowicie niesprężyste i współczynnik restytucji.
Ta tablica przydaje się przy zadaniach o obliczaniu pędu, impulsie siły, zasadzie zachowania pędu, zderzeniach sprężystych i niesprężystych oraz sile średniej w zderzeniu. Do podstawiania danych użyj kalkulatora pędu i impulsu oraz kalkulatora zderzeń i zachowania pędu.
Szybka zasada wyboru wzoru
Jeżeli w zadaniu jest masa i prędkość, zacznij od pędu. Jeżeli jest siła i czas działania, użyj impulsu. Jeżeli są dwa ciała przed i po zderzeniu, sprawdź zasadę zachowania pędu.
W zderzeniach znaki prędkości są tak samo ważne jak wartości liczbowe.
| Temat | Wzór | Co oznacza? | Jednostki | Kiedy użyć? |
|---|---|---|---|---|
| Pęd ciała | p = m · v | Pęd zależy od masy i prędkości ciała. | kg·m/s | Gdy znasz masę i prędkość jednego ciała. |
| Masa z pędu | m = p / v | Masa wyznaczona z pędu i prędkości. | kg | Gdy szukasz masy ciała o znanym pędzie. |
| Prędkość z pędu | v = p / m | Prędkość wyznaczona z pędu i masy. | m/s | Gdy pęd i masa są znane. |
| Zmiana pędu | Δp = m · (v₂ - v₁) | Zmiana pędu ciała przy zmianie prędkości. | kg·m/s | Hamowanie, rozpędzanie, odbicie od ściany. |
| Impuls siły | J = F · Δt | Impuls zależy od siły i czasu jej działania. | N·s | Gdy znasz średnią siłę i czas kontaktu. |
| Twierdzenie o impulsie i pędzie | J = Δp | Impuls siły jest równy zmianie pędu. | N·s = kg·m/s | Gdy chcesz połączyć siłę, czas i zmianę prędkości. |
| Siła średnia w zderzeniu | Fśr = Δp / Δt | Średnia siła kontaktu przy zmianie pędu. | N | Zderzenia, hamowanie, uderzenie piłki, poduszka powietrzna. |
| Czas działania siły | Δt = Δp / Fśr | Czas potrzebny do danej zmiany pędu przy średniej sile. | s | Gdy pytanie dotyczy wydłużenia czasu zderzenia. |
| Pęd układu | pukł = p₁ + p₂ + ... | Suma pędów wszystkich ciał, z uwzględnieniem znaków. | kg·m/s | Gdy analizujesz układ kilku ciał w jednej osi. |
| Zasada zachowania pędu | Σp przed = Σp po | Całkowity pęd układu izolowanego nie zmienia się. | kg·m/s | Zderzenia, odrzut, rozpad układu, układy bez sił zewnętrznych. |
| Zderzenie dwóch ciał w jednej osi | m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′ | Równanie zachowania pędu dla dwóch ciał. | kg·m/s | Wózki, kulki, pojazdy, zderzenia centralne. |
| Zderzenie całkowicie niesprężyste | v = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂) | Wspólna prędkość po zderzeniu, gdy ciała się sklejają. | m/s | Gdy po zderzeniu ciała poruszają się razem. |
| Zderzenie sprężyste – ciało 1 | v₁′ = ((m₁-m₂)/(m₁+m₂))v₁ + (2m₂/(m₁+m₂))v₂ | Prędkość pierwszego ciała po sprężystym zderzeniu 1D. | m/s | Gdy zderzenie jest sprężyste i nie ma strat energii. |
| Zderzenie sprężyste – ciało 2 | v₂′ = (2m₁/(m₁+m₂))v₁ + ((m₂-m₁)/(m₁+m₂))v₂ | Prędkość drugiego ciała po sprężystym zderzeniu 1D. | m/s | Do zderzeń kulek lub wózków bez strat energii mechanicznej. |
| Współczynnik restytucji | e = (v₂′ - v₁′) / (v₁ - v₂) | Opisuje, jak sprężyste jest zderzenie. | bez jednostki | Gdy zadanie podaje e albo każe porównać zderzenia. |
| Energia kinetyczna układu | Ek = m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2 | Suma energii kinetycznych ciał w układzie. | J | Gdy sprawdzasz, czy zderzenie jest sprężyste. |
| Strata energii w zderzeniu | Estr = Ek przed - Ek po | Energia mechaniczna utracona w zderzeniu. | J | Zderzenia niesprężyste, odkształcenia, ciepło i dźwięk. |
| Prędkość środka masy | vCM = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂) | Prędkość środka masy układu dwóch ciał. | m/s | Porównywanie zderzeń i ruchu całego układu. |
| Odrzut | m₁v₁ + m₂v₂ = 0 | Po rozpadzie układu początkowo spoczywającego pędy są przeciwne. | kg·m/s | Wystrzał, odrzut, rozdzielenie dwóch ciał. |
Jak korzystać z tablicy pędu i zderzeń?
Jednostki i symbole w zadaniach z pędu
| Wielkość | Symbol | Jednostka | Najważniejsza uwaga |
|---|---|---|---|
| Pęd | p | kg·m/s | Pęd ma znak zależny od kierunku ruchu. |
| Impuls siły | J | N·s | Jeden N·s jest równoważny kg·m/s. |
| Zmiana pędu | Δp | kg·m/s | Liczymy pęd końcowy minus początkowy. |
| Siła średnia | Fśr | N | Im dłuższy czas kontaktu, tym mniejsza średnia siła. |
| Współczynnik restytucji | e | brak | Dla zderzenia idealnie sprężystego e=1. |
| Energia kinetyczna | Ek | J | W zderzeniu sprężystym energia kinetyczna układu jest zachowana. |
Znaki prędkości: najważniejszy detal w zderzeniach
W zadaniach z pędu nie wystarczy podstawić samych wartości prędkości. Trzeba ustalić jeden kierunek jako dodatni. Jeśli ciało porusza się w prawo, można przyjąć prędkość dodatnią. Jeśli drugie ciało porusza się w lewo, jego prędkość wpisujemy ze znakiem minus. Dzięki temu równanie zachowania pędu pokazuje rzeczywisty kierunek ruchu po zderzeniu.
Zderzenie czołowe
Prędkości przed zderzeniem mają zwykle przeciwne znaki. To najczęstsze miejsce błędów w zadaniach.
Dogonienie
Oba ciała mogą mieć prędkości dodatnie, ale różne wartości. Szybsze ciało dogania wolniejsze.
Odbicie
Po odbiciu znak prędkości może się zmienić. Wtedy zmiana pędu bywa większa niż przy zwykłym zatrzymaniu.
Przykłady obliczeń krok po kroku
Przykład 1: pęd piłki
Dane: m = 0,5 kg, v = 12 m/s.
Wzór: p = m·v.
Obliczenie: p = 0,5 · 12 = 6 kg·m/s.
Wynik: pęd piłki wynosi 6 kg·m/s.
Przykład 2: siła średnia
Dane: Δp = 30 kg·m/s, Δt = 0,15 s.
Wzór: Fśr = Δp/Δt.
Obliczenie: Fśr = 30 / 0,15 = 200 N.
Wynik: średnia siła wynosi 200 N.
Przykład 3: sklejenie wózków
Dane: m₁ = 2 kg, v₁ = 3 m/s, m₂ = 1 kg, v₂ = 0.
Wzór: v=(m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂).
Obliczenie: v = (2·3 + 1·0)/(2+1) = 2 m/s.
Wynik: po sklejeniu wózki jadą z prędkością 2 m/s.
Impuls siły: dlaczego czas kontaktu jest tak ważny?
Ten sam impuls może być uzyskany przez dużą siłę działającą krótko albo mniejszą siłę działającą dłużej. Właśnie dlatego poduszka powietrzna, miękka mata, rękawica bramkarza albo ugięcie nóg przy lądowaniu zmniejszają przeciążenia. Zmiana pędu może być podobna, ale wydłużenie czasu kontaktu obniża średnią siłę zgodnie ze wzorem Fśr = Δp/Δt.
Jeżeli uczeń pyta „dlaczego przy dłuższym hamowaniu siła jest mniejsza”, odpowiedź znajduje się właśnie w związku impulsu i zmiany pędu. Do obliczeń liczbowych użyj kalkulatora pędu i impulsu, a przy zadaniach z pojazdami także kalkulatora drogi hamowania.
Pęd zachowany, energia nie zawsze
W zderzeniach łatwo pomylić dwie zasady. Pęd układu izolowanego jest zachowany, ale energia kinetyczna jest zachowana tylko w zderzeniu sprężystym. Przy zderzeniu niesprężystym część energii przechodzi w odkształcenia, ciepło i dźwięk. Dlatego dwa wózki, które po zderzeniu sklejają się i jadą razem, spełniają zasadę zachowania pędu, ale zwykle nie zachowują energii kinetycznej.
Najczęstsze błędy przy pędzie, impulsie i zderzeniach
Brak znaku prędkości
Prędkość w lewo i prędkość w prawo nie mogą mieć tego samego znaku w równaniu pędu.
Mylenie pędu z energią
Pęd zależy liniowo od prędkości, a energia kinetyczna od kwadratu prędkości.
Złe jednostki czasu
Do wzoru J=F·t czas podstawiaj w sekundach, nie w milisekundach bez przeliczenia.
Założenie sprężystości bez informacji
Jeżeli treść zadania nie mówi o zderzeniu sprężystym, nie zakładaj automatycznie zachowania energii kinetycznej.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy zadaniach z pędem narysuj prostą oś ruchu i zaznacz strzałkami prędkości przed oraz po zdarzeniu. Dopiero potem wpisuj liczby do wzoru. Taki mini-rysunek pomaga uniknąć błędnego znaku prędkości, szczególnie przy zderzeniu czołowym, odbiciu piłki od ściany i zadaniach z odrzutem. Jeśli obliczony wynik wychodzi ujemny, to nie musi oznaczać błędu — może oznaczać ruch w stronę przeciwną do przyjętego kierunku dodatniego.
Co dalej policzyć?
Po przejrzeniu wzorów możesz przejść do konkretnych narzędzi. Podstawowe obliczenia wykonasz w kalkulatorze pędu i impulsu, a pełne zadania z dwoma ciałami w kalkulatorze zderzeń i zachowania pędu. Jeżeli w zadaniu pojawia się siła wypadkowa, skorzystaj z II zasady Newtona, a gdy problem dotyczy energii i strat, sprawdź energię kinetyczną i potencjalną oraz tablicę pracy, mocy i energii.
Pęd i zderzenia w akademii fizyki
Ta tablica jest częścią Akademii fizyki KalkulatorXXL. W akademii możesz przejść od wzorów na pęd i impuls do kalkulatorów zderzeń, energii i zasad Newtona, a potem wrócić do zbiorczej strony wzory z fizyki do szkoły, jeśli potrzebujesz pełnej listy symboli i zależności.
Tablica pędu, impulsu i zderzeń
Najważniejsze wzory: p=m·v, Δp=m(v₂-v₁), J=F·Δt, J=Δp, Fśr=Δp/Δt, Σp przed=Σp po, m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁′+m₂v₂′, v=(m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂), e=(v₂′-v₁′)/(v₁-v₂), Estr=Ek przed-Ek po.
Wygenerowano: kalkulatorxxl.pl