Co to jest rozkład ujemny dwumianowy?
Rozkład ujemny dwumianowy opisuje powtarzanie niezależnych prób aż do momentu uzyskania określonej liczby sukcesów. W najczęstszej wersji pytamy: ile porażek pojawi się przed r-tym sukcesem? Każda próba ma tylko dwa wyniki, sukces albo porażkę, a prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie jest takie samo i wynosi p.
To odróżnia go od zwykłego rozkładu dwumianowego. W rozkładzie dwumianowym Bernoulliego z góry ustalasz liczbę prób n i liczysz, ile sukcesów wystąpi. W rozkładzie ujemnym dwumianowym liczba sukcesów jest celem, a liczba prób lub porażek jest zmienną losową.
Najprostszy przykład: rzucasz monetą lub wykonujesz serię testów i czekasz nie na jeden sukces, ale na kilka sukcesów, np. na 5 poprawnych odpowiedzi, 3 udane trafienia, 10 konwersji albo 2 pozytywne wyniki. Rozkład ujemny dwumianowy odpowiada wtedy na pytanie, jak długo może potrwać dojście do tego celu.
Dwie interpretacje: liczba porażek albo liczba prób
Największe zamieszanie w zadaniach z rozkładu ujemnego dwumianowego wynika z dwóch sposobów zapisu zmiennej. Pierwsza wersja liczy K, czyli liczbę porażek przed r-tym sukcesem. Druga wersja liczy N, czyli łączną liczbę prób potrzebnych do r-tego sukcesu.
Zależność jest prosta, ale trzeba ją świadomie zapisać przed podstawieniem do wzoru:
N = K + r K = N - r
Jeżeli czekasz na 5 sukcesów i przed piątym sukcesem wystąpiły 4 porażki, to liczba prób wynosi 9. Jeżeli w treści zadania jest napisane „piąty sukces pojawił się w dziewiątej próbie”, to oznacza to dokładnie 4 porażki przed tym sukcesem.
| Treść zadania | Zmienna | Jak wpisać? |
|---|---|---|
| „ile porażek przed 5 sukcesami?” | K | wybierz porażki przed r-tym sukcesem |
| „w której próbie pojawi się 5 sukces?” | N | wybierz próby do r-tego sukcesu |
| „najwyżej 4 porażki przed celem” | K≤4 | tryb co najwyżej |
| „co najmniej 9 prób do celu” | N≥9 | tryb próby i co najmniej |
Wzór na prawdopodobieństwo i skąd bierze się symbol Newtona
Dla liczby porażek K przed r-tym sukcesem używamy wzoru:
P(K=k)=C(k+r-1,k) · pr · (1-p)k
Ostatnia próba musi być sukcesem, bo właśnie w niej osiągamy r-ty sukces. Wcześniej, czyli w pierwszych k+r-1 próbach, musi znaleźć się r-1 sukcesów oraz k porażek. Symbol C(k+r-1,k) liczy, na ile sposobów można rozmieścić porażki w tych wcześniejszych próbach.
Jeżeli wolisz patrzeć przez sukcesy, ten sam współczynnik można zapisać jako C(k+r-1,r-1). Oba zapisy dają tę samą wartość, bo wybór miejsc dla porażek automatycznie wyznacza miejsca dla wcześniejszych sukcesów.
Do samego liczenia kombinacji przy większych liczbach możesz użyć także kalkulatora silni i symbolu Newtona. W tym kalkulatorze symbol Newtona jest liczony automatycznie.
Kiedy używać rozkładu ujemnego dwumianowego?
Ten rozkład wybieraj wtedy, gdy celem doświadczenia jest osiągnięcie określonej liczby sukcesów, a liczba prób nie jest ustalona z góry. W praktyce pasuje do zadań o seriach prób, powtarzanych testach, trafieniach, odpowiedziach, konwersjach, telefonach sprzedażowych albo produkcji elementów do momentu uzyskania wymaganej liczby dobrych sztuk.
| Sytuacja | Pytanie | Najlepszy rozkład |
|---|---|---|
| czekasz na pierwszy sukces | ile prób do pierwszego sukcesu? | geometryczny |
| czekasz na r sukcesów | ile porażek lub prób do r-tego sukcesu? | ujemny dwumianowy |
| masz ustalone n prób | ile sukcesów w n próbach? | dwumianowy |
| liczysz zdarzenia w czasie | ile zdarzeń w przedziale? | Poissona |
| losujesz bez zwracania | ile sukcesów z ograniczonej populacji? | hipergeometryczny |
Najważniejsze pytanie kontrolne brzmi: czy liczba prób jest ustalona przed doświadczeniem? Jeśli tak, zwykle używasz rozkładu dwumianowego. Jeśli nie, bo czekasz aż pojawi się r sukcesów, używasz rozkładu ujemnego dwumianowego.
Dokładnie, co najwyżej i co najmniej - jak czytać tryby kalkulatora?
Tryb dokładnie liczy jedną konkretną wartość, np. P(K=4). Oznacza to, że przed r-tym sukcesem musi pojawić się dokładnie 4 porażki. W wersji z liczbą prób będzie to równoważne P(N=r+4).
Tryb co najwyżej sumuje wartości od 0 do podanej granicy. P(K≤4) oznacza, że przed r-tym sukcesem pojawi się 0, 1, 2, 3 albo 4 porażki. Ten wariant odpowiada pytaniom typu „uda się osiągnąć cel bez zbyt wielu nieudanych prób?”.
Tryb co najmniej liczy prawy ogon rozkładu. P(K≥4) oznacza, że przed r-tym sukcesem pojawią się przynajmniej 4 porażki. Ten wariant jest przydatny, gdy interesuje Cię ryzyko długiego oczekiwania na cel.
Tryb od a do b pozwala sprawdzić prawdopodobieństwo, że liczba porażek albo prób wpadnie w konkretny zakres. To zwykle najłatwiejszy tryb do interpretacji w praktycznych zadaniach, np. „cel zostanie osiągnięty między 8 a 12 próbą”.
Średnia, wariancja i odchylenie standardowe
Dla zmiennej K, czyli liczby porażek przed r-tym sukcesem, średnia i wariancja wynoszą:
E(K)=r(1-p)/p Var(K)=r(1-p)/p²
Średnia mówi, ile porażek spodziewamy się przeciętnie przed osiągnięciem celu. Wariancja i odchylenie standardowe mówią, jak szeroko wyniki mogą rozrzucać się wokół tej średniej. Przy małym p oczekiwanie na sukcesy jest dłuższe i bardziej zmienne.
Dla liczby prób N do r-tego sukcesu średnia jest równa:
E(N)=r/p
To ma intuicyjne znaczenie: jeśli szansa sukcesu w jednej próbie wynosi 0,25, to jeden sukces wymaga średnio 4 prób, a 5 sukcesów wymaga średnio 20 prób.
Przykład krok po kroku: porażki przed piątym sukcesem
Załóżmy, że czekamy na r=5 sukcesów, a prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi p=0,4. Chcemy policzyć prawdopodobieństwo, że przed piątym sukcesem pojawią się dokładnie 4 porażki.
W tej sytuacji K=4, a łączna liczba prób to N=K+r=9. Piąty sukces musi wystąpić w dziewiątej próbie, a w pierwszych ośmiu próbach muszą pojawić się 4 sukcesy i 4 porażki w dowolnej kolejności.
P(K=4)=C(8,4) · 0,45 · 0,64
Kalkulator pokazuje ten wynik w tabeli i równocześnie podaje parametry rozkładu. Dzięki temu widzisz nie tylko prawdopodobieństwo jednej wartości, ale też przeciętną liczbę porażek i przeciętną liczbę prób do celu.
Przykład praktyczny: konwersje, telefony i próby sprzedażowe
Rozkład ujemny dwumianowy dobrze pasuje do sytuacji, w której powtarzasz podobne działania aż do uzyskania określonej liczby sukcesów. Przykład: handlowiec ma skuteczność rozmowy p=0,12 i chce zdobyć 3 umówione spotkania. Wtedy rozkład może odpowiedzieć na pytanie, ile nieudanych rozmów pojawi się przed trzecim sukcesem albo ile rozmów łącznie będzie potrzebnych.
W takim przykładzie średnia liczba prób wynosi r/p = 3/0,12 = 25. To nie znaczy, że zawsze potrzeba dokładnie 25 rozmów. Rozkład pokazuje całe prawdopodobieństwo różnych scenariuszy: czasem cel pojawi się szybciej, a czasem potrzebna będzie znacznie dłuższa seria.
To ważne w planowaniu pracy, zapasów albo czasu. Sam średni wynik nie pokazuje ryzyka długiego oczekiwania. Dlatego warto używać trybów „co najmniej” i „od a do b”, które pokazują ogon rozkładu i zakres typowych scenariuszy.
Rozkład ujemny dwumianowy a geometryczny
Rozkład geometryczny jest szczególnym przypadkiem rozkładu ujemnego dwumianowego dla r=1. Oznacza to, że czekasz tylko na pierwszy sukces. Gdy r jest większe od 1, czekasz na drugi, trzeci, piąty albo dowolny kolejny sukces.
Jeżeli w treści zadania widzisz „pierwszy sukces”, prawdopodobnie wystarczy rozkład geometryczny. Jeżeli widzisz „trzeci sukces”, „piąty trafiony strzał”, „dziesiąta poprawna odpowiedź” albo „r-ta konwersja”, naturalnym wyborem jest rozkład ujemny dwumianowy.
W obu rozkładach zakładamy niezależne próby Bernoulliego oraz stałe prawdopodobieństwo sukcesu p. Jeśli prawdopodobieństwo zmienia się w czasie, np. ktoś uczy się i z każdą próbą ma większą szansę powodzenia, model może być zbyt prosty.
Zadania przykładowe
Czekamy na 3 sukcesy. Przed trzecim sukcesem pojawiły się 2 porażki. Ile było prób?
Jaki rozkład opisuje liczbę porażek przed pierwszym sukcesem?
Dla r=4 i p=0,5 ile wynosi średnia liczba porażek?
Dla r=5 i K=4 ile wynosi liczba prób N?
Dlaczego ostatnia próba we wzorze musi być sukcesem?
Kiedy zamiast ujemnego dwumianowego użyć zwykłego dwumianowego?
Najczęstsze błędy
- Mylenie porażek z liczbą prób - liczba prób to porażki plus r sukcesów.
- Użycie rozkładu dwumianowego zamiast ujemnego dwumianowego - dwumianowy ma z góry ustalone n, a ujemny dwumianowy czeka na r sukcesów.
- Wpisanie p jako procentu - 40% wpisuj jako 0,4, nie jako 40.
- Traktowanie r jako liczby prób - r oznacza liczbę sukcesów, na które czekamy.
- Pomijanie warunku niezależności prób - każda próba powinna mieć takie samo p i być niezależna.
- Błędne ustawienie ostatniej próby - ostatnia próba w klasycznym wzorze musi być sukcesem, bo kończy oczekiwanie.
- Nadmierne zaufanie do średniej - przy małym p rozkład ma długi prawy ogon, więc „średnio” nie znaczy „prawie zawsze”.
Sprawdź także
Jeżeli czekasz tylko na pierwszy sukces, użyj rozkładu geometrycznego. Dla ustalonej liczby prób sprawdź rozkład dwumianowy, a dla dużego n również aproksymację normalną dwumianowego.
Do liczby zdarzeń w czasie dobrym uzupełnieniem będzie rozkład Poissona. Jeżeli pracujesz na proporcjach i prawdopodobieństwach jako zmiennych z przedziału 0-1, porównaj też rozkład beta.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przed podstawieniem do wzoru zapisz jednym zdaniem, co oznacza zmienna: „K to liczba porażek przed r-tym sukcesem” albo „N to liczba prób do r-tego sukcesu”. Ten prosty zapis usuwa większość błędów z przesunięciem o r.
Cały pakiet statystyki i rozkładów
Ten kalkulator jest częścią większego pakietu narzędzi do statystyki, prawdopodobieństwa, rozkładów i analizy danych. Jeśli chcesz przejść od pojedynczego wyniku do szerszego zestawu metod, sprawdź Statystyka, prawdopodobieństwo i rozkłady - akademia obliczeń. Znajdziesz tam ścieżki do rozkładów dyskretnych i ciągłych, testów statystycznych, z-score, wartości odstających, ANOVA oraz narzędzi do oceny modeli.