Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty. Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty.
Przejdź do treści

Rozkład ujemny dwumianowy - kalkulator

Oblicz prawdopodobieństwo liczby porażek przed r-tym sukcesem albo liczby prób potrzebnych do uzyskania r sukcesów.

Wpisz dane

Wybierz, czy liczysz porażki przed r-tym sukcesem, czy łączną liczbę prób do r-tego sukcesu.
r-ty sukces
Dodatnia liczba całkowita.
Liczba większa od 0 i nie większa od 1.
K oznacza liczbę porażek przed r-tym sukcesem, a N łączną liczbę prób. Łączy je zależność N = K + r.

Wynik

Prawdopodobieństwo
—
W procentach
—
Średnia E(K)
—
Odchylenie SD(K)
—
Średnia E(N)
—
Wariancja Var(K)
—
Jak czytać wynik?
Wpisz poprawne dane, aby zobaczyć wynik.
Rozkład prawdopodobieństwa
Pokaż sposób obliczenia
Wpisz poprawne dane, aby zobaczyć szczegóły.

Co dalej policzyć?

Wybierz kalkulator pasujący do rodzaju doświadczenia.

Rozkład geometryczny
Gdy czekasz tylko na pierwszy sukces.
Rozkład dwumianowy
Gdy liczba prób jest ustalona z góry.
Rozkład Poissona
Do liczby zdarzeń w przedziale czasu lub przestrzeni.
Rozkład hipergeometryczny
Do losowania bez zwracania.
Aproksymacja normalna
Przy dużej liczbie prób w rozkładzie dwumianowym.
Symbol Newtona
Policz kombinacje występujące we wzorze.

Co to jest rozkład ujemny dwumianowy?

Rozkład ujemny dwumianowy opisuje powtarzanie niezależnych prób aż do uzyskania określonej liczby sukcesów. W najczęstszej wersji pytamy, ile porażek pojawi się przed r-tym sukcesem. Każda próba ma dwa wyniki, a prawdopodobieństwo sukcesu jest stałe i wynosi p.

W zwykłym rozkładzie dwumianowym liczba prób jest ustalona z góry. Tutaj ustalona jest liczba sukcesów, na które czekamy, a zmienna jest liczba porażek albo łączna liczba prób.

Porażki czy liczba prób?

Możesz spotkać dwa równoważne zapisy:

K — liczba porażek
K = N − r
Liczymy porażki przed r-tym sukcesem.
N — liczba prób
N = K + r
Liczymy wszystkie próby potrzebne do r-tego sukcesu.

Jeśli czekasz na 5 sukcesów i wcześniej wystąpiły 4 porażki, to K=4 i N=9.

Jak to policzyć?

Dla liczby porażek K przed r-tym sukcesem:

P(K=k) = C(k+r−1, k) · pr · (1−p)k

Ostatnia próba musi być sukcesem, bo właśnie w niej osiągamy r-ty sukces. W pierwszych k+r−1 próbach znajdują się r−1 sukcesów oraz k porażek.

Współczynnik C(k+r−1,k) określa, na ile sposobów można rozmieścić porażki w tych wcześniejszych próbach.

Który rozkład wybrać?

Pierwszy sukces
Użyj rozkładu geometrycznego.
r-ty sukces
Użyj rozkładu ujemnego dwumianowego.
Ustalona liczba prób
Użyj rozkładu dwumianowego.
Zdarzenia w czasie
Sprawdź rozkład Poissona.
Losowanie bez zwracania
Sprawdź rozkład hipergeometryczny.

Dokładnie, co najwyżej i co najmniej

Dokładnie
P(K=k) dotyczy jednej konkretnej liczby porażek.
Co najwyżej
P(K≤k) obejmuje wartości od 0 do k.
Co najmniej
P(K≥k) obejmuje k i wszystkie większe wartości.
Od a do b
P(a≤K≤b) obejmuje wskazany przedział.

Średnia i zmienność

Liczba porażek K
E(K)=r(1−p)/p
Var(K)=r(1−p)/p²
Liczba prób N
E(N)=r/p
Wariancja N jest taka sama jak wariancja K, ponieważ N=K+r.

Przykład

Niech r=5, p=0,4 i K=4. Wtedy łączna liczba prób wynosi N=9.

P(K=4) = C(8,4) · 0,45 · 0,64 = 0,09289728

Czyli prawdopodobieństwo dokładnie 4 porażek przed piątym sukcesem wynosi około 9,29%.

Przykład praktyczny

Jeśli skuteczność rozmowy wynosi p=0,12 i celem są 3 umówione spotkania, rozkład może opisać liczbę nieudanych rozmów przed trzecim sukcesem albo łączną liczbę rozmów potrzebnych do celu.

Średnia liczba prób wynosi wtedy E(N)=3/0,12=25. Nie oznacza to, że zawsze będzie potrzebne dokładnie 25 prób — rozkład pokazuje także krótsze i dłuższe serie.

Zadania

Zadanie 1

Czekamy na 3 sukcesy. Przed trzecim sukcesem pojawiły się 2 porażki. Ile było prób?

Pokaż odpowiedź
N=K+r=2+3=5.
Zadanie 2

Jaki rozkład opisuje liczbę porażek przed pierwszym sukcesem?

Pokaż odpowiedź
Rozkład geometryczny, czyli przypadek r=1.
Zadanie 3

Dla r=4 i p=0,5 ile wynosi średnia liczba porażek?

Pokaż odpowiedź
E(K)=4·0,5/0,5=4.
Zadanie 4

Dla r=5 i K=4 ile wynosi liczba prób N?

Pokaż odpowiedź
N=K+r=4+5=9.

Najczęstsze błędy

Mylenie K z N
Liczba prób to liczba porażek plus r sukcesów.
Wpisanie procentu jako 40
Dla 40% wpisz p=0,4.
Mylenie r z liczbą prób
r oznacza liczbę sukcesów, na które czekamy.
Zmienne p między próbami
Klasyczny model zakłada tę samą szansę sukcesu w każdej próbie.

Wskazówka

Przed liczeniem zapisz jednym zdaniem, czy zmienna oznacza K — liczbę porażek przed r-tym sukcesem, czy N — łączną liczbę prób do r-tego sukcesu. To pomaga uniknąć przesunięcia wyniku o r.

Więcej: Statystyka, prawdopodobieństwo i rozkłady - akademia obliczeń.

Aktualizacja: 25.10.2026

FAQ - rozkład ujemny dwumianowy

Opisuje liczbę porażek przed uzyskaniem r-tego sukcesu w niezależnych próbach Bernoulliego.

Dwumianowy ma z góry ustaloną liczbę prób, a ujemny dwumianowy czeka na określoną liczbę sukcesów.

r oznacza liczbę sukcesów, na które czekamy.

p to prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie.

P(K=k)=C(k+r-1,k)p^r(1-p)^k.

Liczba prób N równa się K+r.

Liczba porażek K równa się N-r.

Dla K średnia wynosi r(1-p)/p.

Tak. Rozkład geometryczny odpowiada przypadkowi r=1.

Tak. Klasyczny model zakłada niezależne próby i stałe prawdopodobieństwo sukcesu p.

Popularne w tej kategorii

Kalkulator liczb ujemnych: dodawanie i odejmowaniePopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator liczb rzymskichPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator wspólnego mianownika ułamków
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator działań pisemnych
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.