Wektory - tablica wzorów i zadania
Najważniejsze wzory na wektory: współrzędne, długość, kąt, wersor, iloczyn skalarny, prostopadłość, równoległość, rzut i zadania z możliwością sprawdzenia wyniku.
Do czego służy tablica wektorów?
Ta tablica porządkuje najważniejsze wzory z działu wektorów w układzie współrzędnych. Przyda się przy obliczaniu wektora AB, dodawaniu wektorów, liczeniu długości wektora, kąta między wektorami oraz sprawdzaniu prostopadłości.
Do szybkich obliczeń możesz przejść do kalkulatora działań na wektorach, kalkulatora długości wektora i kąta oraz kalkulatora iloczynu skalarnego wektorów. W zadaniach z punktami i prostymi dobrze uzupełnia je tablica geometrii analitycznej.
Podstawowe wzory na wektory
| Co liczymy? | Wzór | Jak czytać? | Przykład |
|---|---|---|---|
| Wektor z dwóch punktów | \(\vec{AB}=(x_B-x_A, y_B-y_A)\) | Odejmujesz współrzędne początku od współrzędnych końca. | A=(1,2), B=(5,4) daje AB=(4,2) |
| Dodawanie wektorów | u+v=(u₁+v₁, u₂+v₂) | Dodajesz osobno współrzędne x i y. | (3,1)+(-2,4)=(1,5) |
| Odejmowanie wektorów | u-v=(u₁-v₁, u₂-v₂) | Odejmujesz składnikami, pilnując znaków. | (3,1)-(-2,4)=(5,-3) |
| Mnożenie przez liczbę | k·u=(k·u₁, k·u₂) | Mnożysz każdą współrzędną przez tę samą liczbę. | 3·(2,-5)=(6,-15) |
| Wektor przeciwny | -u=(-u₁,-u₂) | Zmienia się zwrot, długość zostaje taka sama. | dla u=(4,-1): -u=(-4,1) |
Długość, kąt i wersor
Długość wektora
To odległość od początku do końca wektora, liczona z twierdzenia Pitagorasa.
Kąt z osią OX
Funkcja atan2 pomaga dobrze wybrać ćwiartkę, także gdy współrzędne są ujemne.
Wersor
Wersor ma ten sam kierunek i zwrot co wektor u, ale długość równą 1.
Jeżeli zadanie brzmi „oblicz długość wektora” albo „wyznacz wersor”, najpierw zapisz wektor w postaci współrzędnych. Dopiero potem podstaw do wzoru na moduł wektora.
Iloczyn skalarny, kąt i prostopadłość
| Temat | Wzór | Co oznacza? | Przykład |
|---|---|---|---|
| Iloczyn skalarny | u·v = u₁v₁ + u₂v₂ | Liczba otrzymana z dwóch wektorów. | (2,3)·(4,-1)=8-3=5 |
| Kąt między wektorami | cos α = (u·v)/(|u|·|v|) | Wzór łączy iloczyn skalarny z długościami. | cos α = 0 oznacza kąt 90° |
| Prostopadłość | u·v = 0 | Wektory są prostopadłe, gdy iloczyn skalarny wynosi zero. | (2,1) i (-1,2): -2+2=0 |
| Równoległość | u₁v₂ - u₂v₁ = 0 | Wektory mają ten sam lub przeciwny kierunek. | (2,4) i (1,2) są równoległe |
| Rzut u na v | projᵥu = (u·v / |v|²)·v | Część wektora u leżąca w kierunku v. | Przydatne w geometrii i fizyce. |
Jak rozpoznać typ zadania z wektorów?
Masz dwa punkty?
Najczęściej liczysz wektor AB, czyli końcowy punkt minus początkowy punkt.
Masz jeden wektor?
Prawdopodobnie chodzi o długość, kąt z osią OX, wersor albo wektor przeciwny.
Masz dwa wektory?
Sprawdź, czy trzeba dodać, odjąć, policzyć iloczyn skalarny albo kąt.
Pytają o 90°?
To zwykle prostopadłość. Oblicz iloczyn skalarny i sprawdź, czy wynosi 0.
Przykład 1: wektor z dwóch punktów
Zadanie: Dane są punkty A=(-2,3) i B=(4,-1). Oblicz współrzędne wektora AB.
Najważniejsze jest zachowanie kolejności. Wektor AB oznacza, że startujesz w punkcie A i kończysz w punkcie B. Gdyby zadanie pytało o BA, wynik miałby przeciwne znaki: BA=(-6,4).
Przykład 2: długość i wersor
Zadanie: Dany jest wektor u=(3,4). Oblicz długość i wersor tego wektora.
Wersor jest wygodny, gdy w zadaniu potrzebujesz samego kierunku wektora, ale nie jego pierwotnej długości.
Przykład 3: iloczyn skalarny i kąt
Zadanie: Sprawdź, czy wektory u=(2,1) i v=(-1,2) są prostopadłe.
Iloczyn skalarny wynosi 0, więc wektory są prostopadłe. W zadaniach szkolnych to jeden z najszybszych testów na kąt prosty między wektorami.
Zadania z wektorów - pokaż wynik
Zadanie 1
Oblicz wektor AB dla A=(2,-3), B=(7,1).
Zadanie 2
Dodaj wektory u=(4,-2) oraz v=(-1,5).
Zadanie 3
Oblicz długość wektora u=(6,8).
Zadanie 4
Sprawdź, czy u=(3,-2) i v=(2,3) są prostopadłe.
Zadanie 5
Sprawdź, czy u=(2,6) i v=(1,3) są równoległe.
Zadanie 6
Oblicz 4·(-2,5).
Najczęstsze błędy w zadaniach z wektorów
- Mylenie punktu z wektorem. Punkt oznacza miejsce, a wektor oznacza przesunięcie.
- Odwrócenie kolejności przy wektorze AB. Zawsze liczysz B-A, nie A-B.
- Dodawanie pierwszej współrzędnej jednego wektora do drugiej współrzędnej drugiego wektora.
- Pomijanie znaku minus przy odejmowaniu liczb ujemnych.
- Sprawdzanie prostopadłości „na oko”, zamiast przez iloczyn skalarny.
- Liczenie kąta bez kontroli ćwiartki, szczególnie gdy wektor ma ujemną współrzędną x albo y.
Ciekawostka: wektor można przesunąć bez zmiany jego sensu
Wektor (4,2) oznacza przesunięcie o 4 jednostki w prawo i 2 jednostki w górę. Można go narysować od punktu (0,0), od punktu (5,1) albo od dowolnego innego punktu - nadal opisuje to samo przesunięcie. Dlatego wektory tak dobrze działają w geometrii analitycznej, fizyce, grafice komputerowej i nawigacji.
Wektory w geometrii analitycznej - kiedy który wzór?
| Treść zadania | Najczęściej używany wzór | Co zrobić najpierw? |
|---|---|---|
| „Wyznacz wektor AB” | AB=(xB-xA, yB-yA) | Oznacz punkt początkowy i końcowy. |
| „Oblicz długość wektora” | |u|=√(u₁²+u₂²) | Zapisz współrzędne wektora. |
| „Sprawdź prostopadłość” | u·v=0 | Policz iloczyn skalarny. |
| „Sprawdź równoległość” | u₁v₂-u₂v₁=0 | Porównaj kierunki wektorów. |
| „Oblicz kąt między wektorami” | cos α=(u·v)/(|u||v|) | Policz długości i iloczyn skalarny. |
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy wektorach najpierw ustal, czy masz punkt, wektor, czy dwa wektory. Jeżeli masz dwa punkty, oblicz współrzędne wektora. Jeżeli masz jeden wektor, zwykle liczysz długość, kąt lub wersor. Jeżeli masz dwa wektory, najczęściej chodzi o dodawanie, iloczyn skalarny, prostopadłość albo równoległość. Taki podział pozwala szybko dobrać wzór i ogranicza błędy w znakach.
Sprawdź także
Wektory warto ćwiczyć razem z geometrią analityczną, bo wiele zadań zaczyna się od punktów w układzie współrzędnych. Do funkcji i prostych możesz wrócić przez kalkulator funkcji liniowej, a przy obliczaniu odległości i środka odcinka przyda się też kalkulator działań na wektorach.
Sprawdź także
Ta tablica zbiera wzory, a do szybkich obliczeń możesz użyć powiązanych kalkulatorów: działania na wektorach, długość wektora i kąt oraz iloczyn skalarny. Całe wyjaśnienie bez skrótów znajdziesz w poradniku jak liczyć wektory.