W kalkulatorze działań na wektorach policzysz podstawowe zadania z geometrii analitycznej
Wektory pojawiają się w zadaniach typu „oblicz współrzędne wektora”, „dodaj wektory”, „odejmij wektory” albo „wyznacz punkt przesunięty o wektor”. Ten kalkulator pokazuje wynik od razu po wpisaniu danych, dlatego sprawdza się przy powtórce przed sprawdzianem oraz przy zadaniach z układu współrzędnych.
Jeżeli dopiero zaczynasz temat, najważniejsza zasada jest prosta: wektor opisuje przesunięcie, a nie samo miejsce. Punkt A=(1,2) jest położeniem, ale wektor AB=(4,3) mówi, że z punktu A trzeba przesunąć się o 4 w prawo i o 3 w górę, aby dojść do punktu B.
Wzór / logika obliczeń
Wektor z dwóch punktów
Odejmujesz współrzędne początku od współrzędnych końca. Kolejność ma znaczenie: AB i BA mają przeciwne zwroty.
Działania na współrzędnych
Wektor dodajesz składnikami. Tak samo liczysz odejmowanie i mnożenie przez liczbę.
Przykład obliczeń
Dane są punkty A=(1,2) i B=(5,5). Wektor AB ma współrzędne (5-1, 5-2), czyli (4,3). Jeśli u=(3,4), v=(-2,1), to u+v=(1,5), u-v=(5,3), a 2u=(6,8).
Taki zapis jest ważny, bo wektor można przesuwać po płaszczyźnie bez zmiany jego długości i kierunku. Dlatego w zadaniach często liczy się same współrzędne wektora, a nie rysuje go od nowa w każdym punkcie.
Tabela referencyjna
| Działanie | Wzór | Przykład |
|---|---|---|
| Wektor AB | (x₂-x₁, y₂-y₁) | A=(1,2), B=(5,5) daje AB=(4,3) |
| Dodawanie | (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) | (3,4)+(-2,1)=(1,5) |
| Odejmowanie | (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d) | (3,4)-(-2,1)=(5,3) |
| Mnożenie przez liczbę | k(a,b)=(ka,kb) | 2(3,4)=(6,8) |
| Środek odcinka | ((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2) | Dla A=(1,2), B=(5,5): S=(3,3.5) |
Porównanie z punktami i prostymi
| Obiekt | Co oznacza? | Jak go używać? |
|---|---|---|
| Punkt | Jedno miejsce na płaszczyźnie | A=(2,5) |
| Wektor | Przesunięcie w poziomie i pionie | u=(3,-1) |
| Prosta | Zbiór wielu punktów | y=ax+b |
Do zadań z prostą przyda się kalkulator funkcji liniowej, a do geometrii w układzie współrzędnych tablica geometrii analitycznej.
Zadania przykładowe
Zadanie 1
Oblicz wektor AB dla A=(-2,4), B=(3,1).
Pokaż prawidłową odpowiedź
AB=(5,-3).
Zadanie 2
Oblicz (4,-1)+(-2,6).
Pokaż prawidłową odpowiedź
Wynik to (2,5).
Zadanie 3
Oblicz 3·(-1,5).
Pokaż prawidłową odpowiedź
Wynik to (-3,15).
Zadanie 4
Dany jest wektor u=(2,-4). Jaki jest wektor przeciwny?
Pokaż prawidłową odpowiedź
-u=(-2,4).
Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku
- Nie zamieniaj kolejności punktów. Wektor AB to B-A, a wektor BA to A-B.
- Dodawaj osobno współrzędne x i osobno współrzędne y.
- Przy odejmowaniu pilnuj znaków, szczególnie gdy druga współrzędna jest ujemna.
- W mnożeniu przez liczbę pomnóż obie współrzędne, nie tylko pierwszą.
- Jeśli wynik ma być rysowany, sprawdź jeszcze długość i kąt wektora.
Ciekawostka: ten sam wektor można narysować w wielu miejscach
Wektor nie musi zaczynać się w punkcie (0,0). Jeżeli ma współrzędne (4,3), to oznacza takie samo przesunięcie niezależnie od miejsca startu. Dzięki temu wektory są wygodne w geometrii, fizyce, grafice komputerowej i nawigacji.
Jak czytać wektor na rysunku?
Poziomo
Sprawdź, o ile zmienia się współrzędna x. Ruch w prawo daje wartość dodatnią, a ruch w lewo ujemną.
Pionowo
Sprawdź, o ile zmienia się współrzędna y. Ruch w górę daje wartość dodatnią, a ruch w dół ujemną.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Jeśli masz zadanie z wektorem, najpierw zapisz go w nawiasie jako dwie liczby. Dopiero potem licz długość, kąt albo iloczyn skalarny. Taki porządek zmniejsza liczbę błędów w znakach i ułatwia sprawdzanie odpowiedzi.
Cała geometria w jednym miejscu: Akademia geometrii – figury, bryły, trygonometria i zadania łączy pola i obwody figur z geometrią analityczną, twierdzeniem Pitagorasa, trygonometrią, podobieństwem oraz polami powierzchni i objętościami brył.
Sprawdź także
Ten kalkulator jest pierwszym krokiem w pakiecie wektorów. Po działaniach warto sprawdzić długość wektora i kąt, a przy zadaniach o prostopadłości przejść do iloczynu skalarnego wektorów. Szybką powtórkę wzorów znajdziesz w tablicy wektorów, a pełne wyjaśnienie krok po kroku w poradniku jak liczyć wektory.