Masz wynik? Sprawdź następny krok
Iloczyn skalarny często jest częścią większego zadania z wektorów. Te strony prowadzą dalej od współrzędnych do długości, wzorów i pełnego rozwiązania.
Iloczyn skalarny — co mówi o dwóch wektorach?
Dla wektorów u=(u₁,u₂) i v=(v₁,v₂) iloczyn skalarny jest liczbą. Jego znak pomaga rozpoznać rodzaj kąta, a wartość 0 dla dwóch niezerowych wektorów oznacza prostopadłość.
Ten sam rachunek pozwala też wyznaczyć kąt między wektorami oraz rzut jednego wektora na kierunek drugiego.
Najważniejsze wzory
u·v=u₁v₁+u₂v₂
cos φ=(u·v)/(|u||v|)
projᵥ(u)=(u·v/|v|²)v
Przykład obliczeń
Dla u=(3,4) i v=(5,0) otrzymujemy u·v=3·5+4·0=15. Oba wektory mają długość 5, więc cos φ=15/(5·5)=0,6. Kąt wynosi około 53,13°.
Dla u=(2,3) i v=(3,-2) iloczyn skalarny wynosi 0, dlatego te dwa niezerowe wektory są prostopadłe.
Jak odczytać znak iloczynu skalarnego?
Dla niezerowych wektorów kąt między nimi jest ostry.
Dla niezerowych wektorów kąt wynosi 90° i wektory są prostopadłe.
Dla niezerowych wektorów kąt między nimi jest rozwarty.
Dwa niezerowe wektory w 2D są równoległe lub przeciwnie skierowane.
Zadania przykładowe
Wynik: 2·4+3·1=11.
Iloczyn skalarny wynosi 0, więc kąt ma 90°.
Wektory są równoległe i mają ten sam zwrot.
Wektory są równoległe, ale przeciwnie skierowane; kąt ma 180°.
Najczęstsze błędy
- Iloczyn skalarny jest liczbą, a nie nowym wektorem.
- Kąta nie da się wyznaczyć, jeśli co najmniej jeden wektor jest zerowy.
- Prostopadłość wymaga u·v=0 i dwóch niezerowych wektorów.
- Rzut na wektor zerowy nie jest określony.
- Bardzo mała, ale niezerowa współrzędna nadal jest częścią wektora i nie powinna być samoczynnie zastępowana zerem.
Wskazówka od KalkulatorXXL
W zadaniu o kącie zapisz osobno iloczyn u·v oraz długości |u| i |v|. Dopiero potem podstaw do wzoru na cosinus. Przy prostopadłości najpierw upewnij się, że oba wektory są niezerowe.
FAQ - kalkulator iloczynu skalarnego wektorów
Ostatnia aktualizacja: 29.09.2026