Jak obliczyć długość wektora?
Dla wektora u=(x,y) długość wynosi |u| = √(x²+y²). Podnosisz obie współrzędne do kwadratu, dodajesz wyniki i wyciągasz pierwiastek.
Przykład: dla u=(3,4) otrzymujesz √(3²+4²)=√25=5. Kalkulator wyżej wykonuje to samo obliczenie i pokazuje od razu kąt, wersor oraz odległość punktów.
Policzyłeś długość wektora – co sprawdzić dalej?
W zadaniach z wektorów kolejnym krokiem bywa wyznaczenie działań na współrzędnych, kąta między dwoma wektorami albo sprawdzenie prostopadłości.
Wzory używane w kalkulatorze
Długość wektora
To odległość punktu (x,y) od początku układu współrzędnych.
Kąt z osią OX
Funkcja uwzględnia znaki obu współrzędnych, dlatego rozpoznaje właściwą ćwiartkę.
Wersor
Każdą współrzędną dzielisz przez długość wektora. Wersor nie istnieje dla wektora zerowego.
Odległość dwóch punktów i wektor AB
Dla punktów A=(x₁,y₁) i B=(x₂,y₂) najpierw wyznaczasz wektor AB=(x₂−x₁, y₂−y₁). Jego długość jest dokładnie odległością między punktami.
Dla A=(-1,2) i B=(5,-1) otrzymujesz AB=(6,-3), a odległość wynosi √45≈6,71.
Tabela referencyjna
| Pojęcie | Wzór | Co oznacza? |
|---|---|---|
| Długość wektora | √(x²+y²) | Wartość modułu wektora |
| Kąt wektora | atan2(y,x) | Kierunek względem dodatniej półosi OX |
| Wersor | (x/|u|, y/|u|) | Wektor w tym samym kierunku o długości 1 |
| Odległość AB | √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²) | Długość odcinka między A i B |
Przykładowe zadania
Długość wektora (6,8)
Pokaż odpowiedź
|u|=√(36+64)=10.
Wersor wektora (0,5)
Pokaż odpowiedź
|u|=5, więc wersor to (0,1).
Kąt wektora (1,0)
Pokaż odpowiedź
0°, bo wektor leży na dodatniej półosi OX.
Odległość A=(1,1), B=(4,5)
Pokaż odpowiedź
AB=(3,4), więc |AB|=5.
Najczęstsze błędy
- Długość wektora to pierwiastek z sumy kwadratów, nie suma współrzędnych.
- Do kąta z osią OX trzeba uwzględnić ćwiartkę. Samo arctan(y/x) może dać niewłaściwy wynik.
- Wektor zerowy (0,0) ma długość 0, ale nie ma określonego kąta ani wersora.
- Odległość punktów A i B jest długością wektora AB.
Ciekawostka: wersor zachowuje kierunek, ale ma długość 1
Normalizacja wektora polega na podzieleniu go przez jego długość. Dzięki temu zostaje sam kierunek. Taki zapis jest używany nie tylko w geometrii, ale też w fizyce, grafice komputerowej i obliczeniach ruchu.
Kiedy długość wektora przydaje się w zadaniach?
Odległość punktów
Tworzysz wektor AB z różnic współrzędnych, a następnie liczysz jego długość.
Kierunek przesunięcia
Długość mówi, jak duże jest przesunięcie, a kąt z osią OX opisuje jego zwrot w układzie współrzędnych.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy zadaniach z kątem wektora zawsze sprawdzaj znaki x i y. Kalkulator używa atan2(y,x), dlatego rozpoznaje ćwiartkę także wtedy, gdy x jest ujemne albo równe 0.
Cała geometria w jednym miejscu: Akademia geometrii – figury, bryły, trygonometria i zadania.