Co sprawdzić dalej?
Jeśli masz już wynik, możesz od razu przejść do kolejnego zadania z logiki albo zbiorów.
Wzory De Morgana
Prawa De Morgana pokazują, jak zmienia się zaprzeczenie całego wyrażenia. W logice „i” przechodzi w „lub”, a „lub” przechodzi w „i”. Dla zbiorów część wspólna zamienia się w sumę, a suma w część wspólną.
| Postać wyjściowa | Równoważna postać | Jak to czytać? |
|---|---|---|
| ¬(p ∧ q) | ¬p ∨ ¬q | Nieprawda, że oba zdania są prawdziwe, czyli przynajmniej jedno jest fałszywe. |
| ¬(p ∨ q) | ¬p ∧ ¬q | Nieprawda, że przynajmniej jedno jest prawdziwe, czyli oba są fałszywe. |
| (A ∩ B)' | A' ∪ B' | Poza częścią wspólną są elementy spoza A lub spoza B. |
| (A ∪ B)' | A' ∩ B' | Poza sumą są tylko elementy, które nie należą ani do A, ani do B. |
Przykład dla zdań logicznych
Sprawdźmy wzór ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q. Dla czterech możliwych układów wartości p i q porównujemy lewą i prawą stronę.
Gdy p i q są prawdziwe, lewa strona daje fałsz, bo zaprzecza prawdziwemu zdaniu „p i q”. Prawa strona też daje fałsz, bo zarówno ¬p, jak i ¬q są fałszywe.
W pozostałych trzech przypadkach przynajmniej jedno z p i q jest fałszywe, więc obie strony dają prawdę.
Przykład dla zbiorów
Dla U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2, 3, 4} i B = {3, 4, 5} część wspólna A ∩ B to {3, 4}. Jej dopełnienie względem U wynosi {1, 2, 5, 6}.
Po drugiej stronie liczymy A' = {5, 6} oraz B' = {1, 2, 6}. Suma A' ∪ B' daje {1, 2, 5, 6}.
Obie strony są takie same, więc (A ∩ B)' = A' ∪ B'.
Zadania przykładowe
Zadanie 1
Przekształć wyrażenie: ¬(p ∨ q).
Pokaż odpowiedź
¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q.
Zadanie 2
W U = {a, b, c, d}, A = {a, b}, B = {b, c}. Oblicz (A ∪ B)'.
Pokaż odpowiedź
A ∪ B = {a, b, c}, więc (A ∪ B)' = {d}. Tak samo A' ∩ B' = {d}.
Najczęstsze błędy
| Błąd | Poprawnie | Jak zapamiętać? |
|---|---|---|
| ¬(p ∧ q) = ¬p ∧ ¬q | ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q | Przy zaprzeczeniu zmienia się „i” na „lub”. |
| ¬(p ∨ q) = ¬p ∨ ¬q | ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q | Przy zaprzeczeniu zmienia się „lub” na „i”. |
| (A ∪ B)' = A' ∪ B' | (A ∪ B)' = A' ∩ B' | Dopełnienie sumy to wspólna część dopełnień. |
| Liczenie dopełnienia bez U | Najpierw ustal U | Dopełnienie zawsze liczy się względem ustalonego U. |
Prawa De Morgana w skrócie
Najprościej zapamiętać dwa ruchy: zaprzecz każdą część i zamień „i” na „lub” albo „lub” na „i”. Dla zbiorów działa podobnie: część wspólna i suma zamieniają się miejscami.
| Logika | ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q | ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q |
|---|---|---|
| Zbiory | (A ∩ B)' = A' ∪ B' | (A ∪ B)' = A' ∩ B' |
Wskazówka od KalkulatorXXL
Najpierw sprawdź, czy zadanie dotyczy zdań logicznych, czy zbiorów. Przy zbiorach zawsze ustal U, bo bez niego nie da się poprawnie wyznaczyć dopełnienia.