Co policzyć dalej?
Po obliczeniu sumy zdarzeń możesz od razu przejść do kolejnego kroku w rachunku prawdopodobieństwa.
Zasada włączeń i wyłączeń – co liczy kalkulator?
Jeżeli zdarzenia mogą wystąpić jednocześnie, zwykłe dodanie P(A) + P(B) zawyża wynik, bo część wspólna zostaje policzona dwa razy. Zasada włączeń i wyłączeń odejmuje to podwójne zliczenie.
Dla dwóch zdarzeń kalkulator oblicza P(A∪B), czyli prawdopodobieństwo, że zajdzie A lub B albo oba zdarzenia, a także prawdopodobieństwo żadnego i dokładnie jednego zdarzenia.
Dla trzech zdarzeń uwzględnia trzy przecięcia parami oraz wspólną część A∩B∩C. Dodatkowo pokazuje prawdopodobieństwo dokładnie jednego, dokładnie dwóch i wszystkich trzech zdarzeń.
Wzór na P(A∪B) – dwa zdarzenia
Przykład: P(A)=0,60, P(B)=0,50 i P(A∩B)=0,30. Wtedy P(A∪B)=0,60+0,50−0,30=0,80. Prawdopodobieństwo, że nie zajdzie żadne z nich, wynosi 1−0,80=0,20.
Dokładnie jedno z dwóch zdarzeń ma prawdopodobieństwo P(A)+P(B)−2P(A∩B), czyli w tym przykładzie 0,50.
Wzór na P(A∪B∪C) – trzy zdarzenia
Najpierw dodajemy prawdopodobieństwa pojedynczych zdarzeń. Następnie odejmujemy trzy przecięcia parami, bo zostały policzone podwójnie. Na końcu dodajemy część wspólną wszystkich trzech zdarzeń, ponieważ po poprzednim kroku została odjęta zbyt wiele razy.
Kalkulator rozkłada też wynik na obszary diagramu Venna. Dzięki temu może sprawdzić, czy wpisane dane są w ogóle możliwe.
Ciekawostka
Sama informacja, że każde z trzech zdarzeń ma prawdopodobieństwo od 0 do 1, nie wystarcza. Wszystkie części wspólne również muszą być ze sobą zgodne. Kalkulator sprawdza osiem obszarów diagramu Venna i odrzuca dane, które prowadziłyby do ujemnego prawdopodobieństwa któregoś obszaru.
Granice dla dwóch zdarzeń
Dla P(A)=a i P(B)=b część wspólna nie może być większa niż mniejsze z a i b.
Musi też spełniać dolną granicę: P(A∩B) ≥ max(0, a+b−1). To chroni przed wynikiem P(A∪B)>1.
„A lub B” nie oznacza „tylko A albo tylko B”
W rachunku prawdopodobieństwa unia A∪B obejmuje również sytuację, gdy A i B zachodzą jednocześnie.
Jeżeli zadanie pyta o dokładnie jedno z dwóch zdarzeń, trzeba odjąć część wspólną dwukrotnie.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Najpierw zaznacz w treści zadania, które dane są pojedynczymi zdarzeniami, a które częściami wspólnymi. Potem sprawdź, czy pytanie dotyczy „co najmniej jednego”, „dokładnie jednego”, „dokładnie dwóch” czy „żadnego”. Te sformułowania prowadzą do różnych części diagramu Venna.
Wyniki kontrolne
P(A)=0,60; P(B)=0,50; P(A∩B)=0,30 → P(A∪B)=0,80; dokładnie jedno=0,50; żadne=0,20.
P(A)=0,20; P(B)=0,30; P(A∩B)=0 → P(A∪B)=0,50.
P(A)=0,20; P(B)=0,70; P(A∩B)=0,20 → P(A∪B)=0,70.
0,6; 0,5; 0,4; AB=0,3; AC=0,25; BC=0,2; ABC=0,1 → unia=0,85; dokładnie jedno=0,30; dokładnie dwa=0,45; wszystkie trzy=0,10.
W trybie procentowym te same dane możesz wpisać jako 60, 50, 30 itd. Kalkulator przelicza je na wartości od 0 do 1 przed wykonaniem wzorów.
Najczęstsze błędy przy zasadzie włączeń i wyłączeń
- Dodanie P(A)+P(B) bez odjęcia P(A∩B), mimo że zdarzenia mogą zachodzić razem.
- Mylenie unii z dokładnie jednym zdarzeniem. A∪B obejmuje także A∩B.
- Pominięcie P(A∩B∩C) w przypadku trzech zdarzeń.
- Wpisanie niezgodnych danych, np. P(A∩B) większego niż P(A).
- Mieszanie procentów z wartościami 0–1. Ustaw właściwy sposób podawania danych.
Jeśli zadanie ma więcej niż trzy zbiory, ta sama zasada się rozszerza: naprzemiennie dodaje się i odejmuje sumy przecięć coraz większej liczby zbiorów.
FAQ – zasada włączeń i wyłączeń
Aktualizacja: 29.09.2026