Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty. Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty.
Przejdź do treści

Układ równań 3×3 – kalkulator metodą Gaussa

Wpisz trzy równania z niewiadomymi x, y i z. Kalkulator pokaże rozwiązanie, wyznacznik, rzędy macierzy i kolejne operacje na wierszach.

Wpisz trzy równania

Każdy wiersz ma postać ax + by + cz = d. Wynik przelicza się automatycznie po zmianie danych.
3 równania • 3 niewiadome
Równanie 1
Równanie 2
Równanie 3
Przykład startowy daje x = 2, y = 3, z = -1. Współczynnik może być równy 0 i może być ujemny.

Wynik

Rozwiązanie
—
Wpisz współczynniki układu.
Wyznacznik det(A)
—
Rzędy macierzy
—
—
Macierz po eliminacji
—

Masz już wynik? Sprawdź następny krok

Jeśli układ ma jedno rozwiązanie, możesz sprawdzić wyznacznik macierzy. Gdy rozwiązań nie ma albo jest ich nieskończenie wiele, przyda się rząd macierzy. Do szybkiej powtórki wzorów masz też gotową tablicę.

Wyznacznik macierzyPolicz det(A) dla macierzy 2×2 i 3×3.
Rząd macierzySprawdź, dlaczego układ ma jeden, zero albo wiele wyników.
Macierze i układy – tablicaWzory i najważniejsze zasady w jednym miejscu.

Jak działa metoda Gaussa?

Układ zapisujemy jako macierz rozszerzoną [A|B]. Następnie zamieniamy, dzielimy i odejmujemy wiersze tak, aby kolejne niewiadome dało się odczytać z uproszczonej macierzy.

A · X = B

Jeżeli det(A) ≠ 0, układ ma jedno rozwiązanie. Gdy det(A) = 0, sam wyznacznik nie wystarcza — trzeba porównać rząd macierzy A i macierzy rozszerzonej [A|B].

Kroki obliczeń dla Twoich danych

Wpisz dane, aby zobaczyć kolejne operacje.

Przykład

2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3

Po eliminacji otrzymujemy:

x = 2, y = 3, z = −1

Możesz sprawdzić wynik przez podstawienie tych trzech liczb do wszystkich równań.

Co oznacza rodzaj wyniku?

Jedno rozwiązanie

rząd(A) = rząd([A|B]) = 3.

Nieskończenie wiele rozwiązań

rząd(A) = rząd([A|B]) < 3.

Brak rozwiązania

rząd(A) < rząd([A|B]).

Ciekawostka

Każde równanie liniowe z trzema niewiadomymi opisuje płaszczyznę. Jedno rozwiązanie oznacza jeden wspólny punkt trzech płaszczyzn. Wspólna prosta lub ta sama płaszczyzna może dać nieskończenie wiele rozwiązań.

Wskazówka od KalkulatorXXL

Jeśli wynik z zeszytu nie zgadza się z kalkulatorem, najpierw sprawdź znaki minus i kolejność współczynników x, y, z. To najczęstsza przyczyna różnicy.

Gdy chcesz przejść dalej, użyj kalkulatora macierzy odwrotnej albo działań na macierzach.

FAQ - kalkulator układu równań 3x3

Najczęściej zapisuje się układ jako macierz rozszerzoną i stosuje eliminację Gaussa, aż można odczytać x, y i z.

det(A) to wyznacznik macierzy współczynników. Jeśli det(A) jest różny od zera, układ 3x3 ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Układ nie ma rozwiązania, gdy po eliminacji pojawia się sprzeczność, na przykład 0x + 0y + 0z = 5.

Gdy rząd macierzy współczynników jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej, ale jest mniejszy niż liczba niewiadomych.

Tak. Kalkulator pokazuje macierz rozszerzoną, operacje na wierszach, postać po eliminacji i wniosek o rozwiązaniach.

Wpisz współczynnik z minusem, na przykład -2 przy wyrażeniu -2x. Wyraz wolny po prawej stronie także może być ujemny.

Tak, ale tylko wtedy, gdy macierz współczynników ma odwrotność, czyli jej wyznacznik jest różny od zera.

Tak. Wystarczy podstawić obliczone x, y i z do każdego z trzech równań i sprawdzić, czy prawa strona się zgadza.

Tak. Kalkulator rozpoznaje także układ sprzeczny i pokazuje informację, że rozwiązanie nie istnieje.

Ostatnia aktualizacja: 29.09.2026

Popularne w tej kategorii

Kalkulator układu równańPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator równania kwadratowegoPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator równań z nawiasami
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator Pitagorasa - przekątna, kąt prosty i metoda 3-4-5
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.