Ten kalkulator służy przede wszystkim do mnożenia macierzy. Wybierz liczbę wierszy i kolumn, wpisz A i B, a wynik A razy B zostanie rozpisany element po elemencie. Narzędzie obsługuje również dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez liczbę i transpozycję.
Jeżeli potrzebujesz wyznacznika, macierzy odwrotnej albo rzędu, użyj osobnych narzędzi. Dzięki temu każde obliczenie ma jasny cel i nie trzeba szukać właściwego wyniku w jednym rozbudowanym kalkulatorze.
Jak mnożyć macierze 2x2 krok po kroku?
Dla macierzy A = [[1,2],[3,4]] oraz B = [[5,6],[7,8]] pierwszy element wyniku powstaje z pierwszego wiersza A i pierwszej kolumny B: 1 razy 5 + 2 razy 7 = 19.
Pozostałe elementy liczy się tak samo. Dla tego przykładu A razy B = [[19,22],[43,50]]. Kalkulator nad formularzem wykonuje dokładnie te działania i pokazuje je osobno dla każdej komórki wyniku.
Pełne zestawienie wzorów i warunków znajdziesz w tablicy macierzy, wyznaczników i układów równań, a metodę nauki krok po kroku w poradniku o macierzach.
Kiedy można mnożyć macierze?
Iloczyn A razy B istnieje wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. Jeżeli A ma rozmiar 2x3, a B ma 3x2, działanie jest możliwe i wynik ma rozmiar 2x2.
Ten sam warunek pozwala mnożyć macierz przez wektor. Przykładowo macierz 2x3 można pomnożyć przez wektor kolumnowy 3x1 i otrzymać wynik 2x1.
Dodawanie, odejmowanie i transpozycja macierzy
Dodawanie i odejmowanie są możliwe tylko dla macierzy o identycznej liczbie wierszy i kolumn. Elementy dodaje się lub odejmuje na tych samych pozycjach.
Mnożenie przez liczbę k polega na przemnożeniu każdego elementu macierzy przez tę samą wartość. Transpozycja zamienia wiersze z kolumnami, dlatego macierz 2x3 po transpozycji ma rozmiar 3x2.
Te działania są dostępne w kalkulatorze pomocniczo. Główny wynik i rozpisane kroki dotyczą mnożenia A razy B, ponieważ właśnie tu najłatwiej pomylić kolejność wierszy i kolumn.
Co dalej policzyć?
Ciekawostka
Mnożenie macierzy zwykle nie jest przemienne. Nawet gdy istnieją oba iloczyny, A razy B i B razy A mogą dawać zupełnie inne wyniki. Dlatego kalkulator pokazuje oba działania osobno.
Dla ucznia liceum, technikum i studenta algebry liniowej
W zadaniu z macierzami najpierw zapisz ich rozmiary. To od razu pokazuje, które działania są dozwolone i jaki rozmiar będzie miał wynik.
- Mnożenie: porównaj kolumny pierwszej macierzy z wierszami drugiej.
- Dodawanie: sprawdź, czy obie macierze mają dokładnie taki sam rozmiar.
- Kontrola elementu: przy c11 używasz pierwszego wiersza A i pierwszej kolumny B.
- Kontrola wyniku: dla A o rozmiarze m x n i B o rozmiarze n x p wynik ma rozmiar m x p.
- Typowy błąd: nie mnoż elementów na tych samych pozycjach - to nie jest reguła mnożenia macierzy.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przed rozpoczęciem rachunków zapisz same wymiary, np. 2x3 razy 3x1. Jeżeli dwie liczby w środku są równe, działanie istnieje, a wynik będzie miał rozmiar 2x1. Ta kontrola eliminuje wiele błędów jeszcze przed pierwszym mnożeniem.
FAQ - mnożenie i działania na macierzach
Ostatnia aktualizacja: 08.09.2026