Czym są liczby pierwsze i złożone?
Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki dodatnie: 1 i samą siebie. Przykłady to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i 19. Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki dodatnie. Przykłady to 4, 6, 8, 9, 10, 12 i 15.
Ten poradnik odpowiada na pytania typu „czy liczba jest pierwsza”, „jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze”, „dlaczego 1 nie jest liczbą pierwszą”, „jak znaleźć dzielniki liczby” i „jak rozkład na czynniki pomaga przy NWD i NWW”. Do szybkiego sprawdzania liczb użyj kalkulatora: liczba pierwsza czy złożona, a przy dalszych obliczeniach kalkulatora NWD i NWW.
Definicje, które trzeba znać
Liczba pierwsza
Liczba naturalna większa od 1, która dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie.
Liczba złożona
Liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki dodatnie.
Dzielnik
Liczba, przez którą można podzielić daną liczbę bez reszty.
Warto zapamiętać, że 1 nie jest liczbą pierwszą ani złożoną. Ma tylko jeden dzielnik dodatni, czyli samą siebie. Najmniejszą liczbą pierwszą jest 2 i jest to jedyna parzysta liczba pierwsza.
Lista pierwszych liczb pierwszych
Najczęściej w zadaniach szkolnych wystarczy dobrze znać małe liczby pierwsze. Ułatwia to rozkład na czynniki, sprawdzanie podzielności i skracanie ułamków.
| Liczba | Czy pierwsza? | Dlaczego? |
|---|---|---|
| 2 | tak | dzieli się tylko przez 1 i 2 |
| 9 | nie | 9 = 3 · 3 |
| 17 | tak | nie dzieli się przez 2, 3 ani 5 |
| 21 | nie | 21 = 3 · 7 |
| 29 | tak | nie ma dzielników poza 1 i 29 |
Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza?
Aby sprawdzić, czy liczba jest pierwsza, testujemy dzielenie przez liczby pierwsze nie większe niż pierwiastek z tej liczby. Nie trzeba sprawdzać wszystkich liczb po kolei. Przykład: dla 29 wystarczy sprawdzić dzielenie przez 2, 3 i 5, bo √29 jest mniejsze niż 6.
Przykład: 29
29 nie dzieli się przez 2, 3 ani 5. Ponieważ √29 < 6, nie trzeba sprawdzać większych dzielników. 29 jest liczbą pierwszą.
Przykład: 49
49 nie dzieli się przez 2, 3 ani 5, ale dzieli się przez 7. 49 jest liczbą złożoną, bo 49 = 7 · 7.
Do sprawdzania podzielności przydadzą się także cechy podzielności.
Rozkład na czynniki pierwsze
Rozkład na czynniki pierwsze polega na zapisaniu liczby jako iloczynu liczb pierwszych. Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze. Ten rozkład jest podstawą obliczania NWD, NWW, skracania ułamków i sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika.
24
24 = 2 · 12 = 2 · 2 · 6 = 2³ · 3
36
36 = 2 · 18 = 2 · 2 · 9 = 2² · 3²
84
84 = 2 · 42 = 2 · 2 · 21 = 2² · 3 · 7
Drzewko rozkładu na czynniki
Drzewko rozkładu pomaga rozbić liczbę na mniejsze czynniki. Nie ma znaczenia, od którego dzielnika zaczniesz, jeśli na końcu otrzymasz same liczby pierwsze. Wynik powinien być taki sam, tylko zapis może mieć inną kolejność.
Przykład: 60
60 = 6 · 10, a potem 6 = 2 · 3 i 10 = 2 · 5.
Dlatego 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5.
Rozkład na czynniki a NWD i NWW
Rozkład na czynniki pierwsze bardzo ułatwia obliczanie NWD i NWW. Przy NWD bierzemy tylko wspólne czynniki w najmniejszych potęgach. Przy NWW bierzemy wszystkie czynniki, które występują w rozkładach, w największych potęgach.
NWD(36, 48)
36 = 2² · 3²
48 = 2⁴ · 3
Wspólne najmniejsze potęgi: 2² · 3 = 12.
NWW(36, 48)
36 = 2² · 3²
48 = 2⁴ · 3
Wszystkie największe potęgi: 2⁴ · 3² = 144.
Szczegółowe zasady znajdziesz w poradniku jak liczyć NWD, NWW i cechy podzielności.
Liczby pierwsze w skracaniu ułamków
Rozkład na czynniki pierwsze pomaga szybko skracać ułamki. Jeśli licznik i mianownik mają wspólny czynnik, można go skrócić. Przykład: 18/24. Rozkłady to 18 = 2 · 3² i 24 = 2³ · 3. Wspólna część to 2 · 3 = 6, więc skracamy przez 6 i otrzymujemy 3/4.
Przy ułamkach przyda się także kalkulator zamiany ułamków i kalkulator działań na ułamkach.
Zadania z rozwiązaniem
Zadanie 1
Czy 31 jest liczbą pierwszą?
√31 < 6, więc sprawdzamy 2, 3 i 5. Nie dzieli się przez żadną z nich. 31 jest pierwsza.
Zadanie 2
Rozłóż 72 na czynniki pierwsze.
72 = 2 · 36 = 2 · 2 · 18 = 2 · 2 · 2 · 9 = 2³ · 3².
Zadanie 3
Czy 91 jest liczbą pierwszą?
91 dzieli się przez 7, bo 7 · 13 = 91. 91 jest złożona.
Zadania do samodzielnej powtórki
| Zadanie | Odpowiedź | Temat |
|---|---|---|
| Czy 37 jest liczbą pierwszą? | tak | liczba pierwsza |
| Czy 39 jest liczbą pierwszą? | nie, 39 = 3 · 13 | liczba złożona |
| Rozłóż 90 na czynniki pierwsze | 2 · 3² · 5 | rozkład na czynniki |
| Rozłóż 100 na czynniki pierwsze | 2² · 5² | rozkład na czynniki |
| NWD(18, 30) z rozkładu | 6 | NWD |
| NWW(8, 12) z rozkładu | 24 | NWW |
| Czy 1 jest liczbą pierwszą? | nie | definicja |
| Najmniejsza liczba pierwsza | 2 | liczby pierwsze |
Jak nie pomylić liczby pierwszej z nieparzystą?
Nie każda liczba nieparzysta jest pierwsza. Liczba 9 jest nieparzysta, ale złożona, bo 9 = 3 · 3. Liczba 15 jest nieparzysta, ale złożona, bo 15 = 3 · 5. Liczba 21 także jest złożona. Dlatego samo sprawdzenie, że liczba jest nieparzysta, nie wystarcza.
Jeśli chcesz powtórzyć temat parzystości, sprawdź kalkulator liczb parzystych i nieparzystych.
Ciekawostka: liczby pierwsze są cegiełkami liczb naturalnych
Każdą liczbę naturalną większą od 1 można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych. Dlatego liczby pierwsze często nazywa się cegiełkami arytmetyki. Z nich budujemy rozkład liczb, NWD, NWW i wiele dalszych tematów matematycznych.
Najczęstsze błędy
- Uznawanie liczby 1 za liczbę pierwszą.
- Mylenie liczby nieparzystej z liczbą pierwszą.
- Kończenie rozkładu, zanim wszystkie czynniki są pierwsze.
- Pomijanie dzielnika 7 przy sprawdzaniu liczb takich jak 49, 77 lub 91.
- Zapisywanie rozkładu bez uporządkowania potęg, np. zamiast 2³ · 3².
- Branie do NWD czynnika, który nie występuje w obu rozkładach.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy sprawdzaniu, czy liczba jest pierwsza, nie wystarczy zobaczyć, że nie dzieli się przez 2. Sprawdź kolejne małe liczby pierwsze: 3, 5, 7, 11 i dalej, aż dojdziesz do pierwiastka z badanej liczby. Przy rozkładzie na czynniki zatrzymaj się dopiero wtedy, gdy każdy czynnik jest liczbą pierwszą.
Zobacz cały pakiet: Akademia matematyki dyskretnej – logika, zbiory i grafy porządkuje kalkulatory, tablicę wzorów i poradniki od logiki zdań oraz zbiorów po liczby pierwsze, kombinatorykę i grafy.