Co sprawdzić po obliczeniu rozkładu lognormalnego?
Porównaj wynik z rozkładem normalnym albo z innymi rozkładami dla dodatnich, prawostronnie skośnych danych.
Co to jest rozkład lognormalny?
Rozkład lognormalny opisuje dodatnie dane z długim prawym ogonem. Większość wartości może być skupiona w niższym zakresie, ale czasem pojawiają się znacznie większe obserwacje.
Najważniejsza własność jest prosta: jeżeli X ma rozkład lognormalny, to ln(X) ma rozkład normalny. Dlatego obliczenia dystrybuanty i kwantyli można sprowadzić do rozkładu normalnego.
Rozkład lognormalny bywa używany m.in. dla dodatnich czasów, cen, rozmiarów i innych wielkości, których zmiany mają charakter względny lub multiplikatywny.
Parametry μ i σ dotyczą ln(X)
W zapisie lognormalnym μ i σ nie są zwykłą średnią i odchyleniem standardowym zmiennej X. Są to średnia i odchylenie standardowe dla ln(X).
Jeżeli znasz średnią m i odchylenie standardowe s w oryginalnej skali X, kalkulator używa przeliczenia:
Najważniejsze wzory
Dystrybuanta, prawy ogon i przedział
Dystrybuanta F(x)=P(X≤x) pokazuje część rozkładu leżącą po lewej stronie x. Dla x≤0 wynosi 0, ponieważ rozkład lognormalny ma tylko wartości dodatnie.
Prawy ogon to P(X≥x)=1−F(x). Przy bardzo dużym x może być bardzo mały, dlatego kalkulator zachowuje zapis małych niezerowych wyników zamiast zaokrąglać je do zwykłego zera.
Dla przedziału obowiązuje P(a≤X≤b)=F(b)−F(a). Gdy a jest większe od b, trzeba poprawić dane — kalkulator nie zamienia granic po cichu.
Kwantyl i przedział centralny
Kwantyl poziomu p wyznaczamy przez kwantyl standardowego rozkładu normalnego zp:
Przedział centralny p ma po obu stronach taki sam udział: po (1−p)/2 w każdym ogonie. Na przykład centralne 95% leży między kwantylami 2,5% i 97,5%.
W lognormalnym przedział centralny nie jest symetryczny w oryginalnej skali X, mimo że po logarytmowaniu odpowiada symetrycznemu przedziałowi rozkładu normalnego.
Średnia, mediana i dominanta
Dla σ>0 typowa kolejność to dominanta < mediana < średnia. Długi prawy ogon podciąga średnią w górę.
Dlatego przy mocno skośnych danych sama średnia może nie opisywać dobrze typowej obserwacji. Mediana i kwantyle często dają bardziej praktyczny obraz.
Kalkulator pokazuje wszystkie trzy wartości, a także wariancję i odchylenie standardowe w oryginalnej skali X.
Przykład krok po kroku
Załóżmy, że ln(X) ma rozkład normalny o parametrach μ=4,60 i σ=0,35. Chcemy policzyć P(X≤120).
Następnie odczytujemy Φ(z). Wynik jest dystrybuantą P(X≤120), a prawy ogon to jej dopełnienie.
Dla przedziału od 80 do 160 kalkulator liczy F(160)−F(80). Dla kwantyla działa odwrotnie: najpierw wyznacza zp, a potem wraca z logarytmów przez funkcję exp.
Rozkład lognormalny a normalny, gamma i Weibulla
| Rozkład | Typowe dane | Co warto sprawdzić? |
|---|---|---|
| normalny | bardziej symetryczne | czy brak wyraźnego prawego ogona |
| lognormalny | dodatnie, prawostronnie skośne | czy ln(X) jest zbliżone do normalnego |
| gamma | dodatnie czasy i sumy dodatnich składników | kształt i prawy ogon |
| Weibulla | czasy do awarii i trwałość | zmianę ryzyka awarii w czasie |
Najczęstsze błędy
- mylenie μ ze średnią X;
- podawanie σ≤0;
- zamienianie odwróconych granic przedziału zamiast poprawienia danych;
- zaokrąglanie bardzo małego ogona do zera;
- opisywanie silnie skośnych danych tylko przez średnią;
- porównywanie X z rozkładem normalnym bez sprawdzenia ln(X).
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy dodatnich i skośnych danych porównaj średnią z medianą oraz obejrzyj histogram X i ln(X). Duża różnica między średnią a medianą jest sygnałem, że sam opis „średnia ± odchylenie” może być mało czytelny.
Cały dział statystyki i rozkładów
Jeśli chcesz przejść od pojedynczego rozkładu do statystyki opisowej, prawdopodobieństwa i testów, sprawdź akademię statystyki i prawdopodobieństwa.
FAQ - rozkład lognormalny
Ostatnia aktualizacja: 25.10.2026