Tablica równań i nierówności
Równania liniowe, kwadratowe, proporcje, układy równań, nierówności, zmiana znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną i zapis rozwiązań w przedziałach.
Równanie, nierówność i rozwiązanie — szybka orientacja
Równanie szuka wartości, dla której dwie strony są równe. Nierówność opisuje zakres wartości, które spełniają warunek. Ta tablica pokazuje, jak rozwiązywać proste równania, kiedy zmienia się znak nierówności, jak czytać zbiór rozwiązań i jak sprawdzać wynik przez podstawienie.
Równanie a nierówność — podstawowa różnica
W równaniu używasz znaku równości, np. 2x + 3 = 11. Rozwiązaniem jest zwykle konkretna liczba lub kilka liczb. W nierówności pojawia się znak <, >, ≤ albo ≥, np. 2x + 3 < 11. Rozwiązaniem jest najczęściej przedział liczb. Przy zapisie na osi i w przedziałach pomocna jest tablica przedziałów liczbowych i nawiasów.
2x + 3 = 11Szukasz wartości x, dla której lewa strona jest równa prawej.
2x + 3 < 11Szukasz wszystkich wartości x, które spełniają warunek.
Równania liniowe krok po kroku
Równanie liniowe z jedną niewiadomą można rozwiązać przez wykonywanie tych samych działań po obu stronach równania. Celem jest zostawienie niewiadomej po jednej stronie. Jeżeli w zadaniu pojawia się funkcja typu y = ax + b, skorzystaj też z kalkulatora funkcji liniowej.
| Równanie | Krok | Po kroku | Rozwiązanie |
|---|---|---|---|
| 2x + 5 = 17 | odejmij 5 | 2x = 12 | x = 6 |
| 3x - 4 = 11 | dodaj 4 | 3x = 15 | x = 5 |
| x/4 = 7 | pomnóż przez 4 | x = 28 | x = 28 |
| 5 - x = 12 | odejmij 5, podziel przez -1 | -x = 7 | x = -7 |
Nierówności i zmiana znaku
W nierówności możesz dodawać i odejmować tę samą liczbę po obu stronach, tak jak w równaniu. Najważniejsza różnica pojawia się przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną: wtedy znak nierówności zmienia kierunek. Ten moment jest jednym z najczęstszych źródeł błędów.
| Nierówność | Krok | Po kroku | Wynik |
|---|---|---|---|
| x + 4 < 10 | odejmij 4 | x < 6 | (-∞, 6) |
| 3x ≥ 12 | podziel przez 3 | x ≥ 4 | [4, ∞) |
| -2x < 8 | podziel przez -2 | x > -4 | (-4, ∞) |
| 5 - x ≤ 9 | odejmij 5, podziel przez -1 | x ≥ -4 | [-4, ∞) |
Znaki nierówności i nawiasy w odpowiedzi
Znak < lub > oznacza granicę niewliczoną, więc w zapisie przedziału używasz nawiasu okrągłego. Znak ≤ lub ≥ oznacza granicę wliczoną, więc stosujesz nawias kwadratowy. Przy nieskończoności zawsze używa się nawiasu okrągłego.
| Zapis nierówności | Zapis przedziału | Granica |
|---|---|---|
| x < 5 | (-∞, 5) | 5 niewliczone |
| x ≤ 5 | (-∞, 5] | 5 wliczone |
| x > -2 | (-2, ∞) | -2 niewliczone |
| x ≥ -2 | [-2, ∞) | -2 wliczone |
Równania kwadratowe
Równanie kwadratowe ma postać ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0. Najczęściej rozwiązuje się je przez deltę. Liczba rozwiązań zależy od znaku delty: gdy Δ > 0 są dwa rozwiązania, gdy Δ = 0 jest jedno rozwiązanie, a gdy Δ < 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych. Do obliczeń użyj kalkulatora równania kwadratowego.
Δ = b² - 4acNajpierw liczysz wyróżnik równania.
Δ > 0Równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.
Δ = 0Równanie ma jedno podwójne rozwiązanie.
Układy równań
Układ równań zawiera co najmniej dwa równania, które muszą być spełnione jednocześnie. W szkole najczęściej rozwiązuje się układy metodą podstawiania albo przeciwnych współczynników. Konkretne przykłady możesz policzyć w kalkulatorze układów równań.
| Metoda | Kiedy jest wygodna? | Na co uważać? |
|---|---|---|
| podstawiania | gdy łatwo wyznaczyć jedną niewiadomą | podstaw całe wyrażenie, nie tylko liczbę |
| przeciwnych współczynników | gdy współczynniki łatwo się znoszą | mnożysz całe równanie, nie pojedynczy składnik |
| porównywania | gdy oba równania dają tę samą niewiadomą | pilnuj znaków po obu stronach |
Zapis zbioru rozwiązań
Odpowiedź w równaniu często jest jedną liczbą, np. x = 6. Odpowiedź w nierówności zwykle jest przedziałem, np. x < 6, czyli (-∞, 6). Jeśli nierówność jest podwójna, np. 2 ≤ x < 7, odpowiedź zapisujemy jako [2, 7).
| Wynik | Zapis przedziału | Opis |
|---|---|---|
| x = 4 | {4} | jedno rozwiązanie |
| x < 4 | (-∞, 4) | wszystko mniejsze od 4 |
| x ≥ -3 | [-3, ∞) | od -3 włącznie w prawo |
| 2 ≤ x < 7 | [2, 7) | od 2 włącznie do 7 bez 7 |
Jak sprawdzać rozwiązanie?
W równaniu podstaw znalezioną wartość do pierwotnego zapisu. Jeśli obie strony są równe, rozwiązanie jest poprawne. W nierówności możesz podstawić jedną liczbę z otrzymanego przedziału i jedną spoza niego. To szybko pokazuje, czy znak nierówności został ustawiony w dobrą stronę.
Sprawdzenie równania
Dla 2x + 5 = 17 i x = 6 podstawiasz: 2·6 + 5 = 17, więc wynik pasuje.
Sprawdzenie nierówności
Dla x < 6 podstaw 5 i 7. Liczba 5 powinna spełniać warunek, a 7 nie.
Równania i nierówności w zadaniach tekstowych
W zadaniach tekstowych równanie pojawia się wtedy, gdy szukasz dokładnej wartości, np. ceny, wieku, liczby sztuk albo długości. Nierówność pojawia się wtedy, gdy warunek brzmi „co najmniej”, „nie więcej niż”, „mniej niż”, „więcej niż” albo „w zakresie”. Przed zapisaniem działania warto nazwać niewiadomą, np. x – liczba biletów, x – cena jednego produktu albo x – liczba punktów.
Najwięcej błędów powstaje wtedy, gdy uczeń dobrze liczy, ale źle zapisuje warunek. Słowa „co najmniej 20” oznaczają x ≥ 20, a „mniej niż 20” oznaczają x < 20. Różnica jednego znaku potrafi całkowicie zmienić odpowiedź.
Najczęstsze błędy przy równaniach i nierównościach
- Przekształcanie tylko jednej strony równania. Ten sam krok trzeba wykonać po obu stronach.
- Brak zmiany znaku nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną. To zmienia kierunek znaku.
- Mylenie < z ≤. Pierwszy znak wyklucza granicę, drugi ją wlicza.
- Niepoprawne usuwanie nawiasów. Minus przed nawiasem zmienia wszystkie znaki w środku.
- Brak sprawdzenia wyniku. Podstawienie wyniku często wykrywa błąd znaku lub przeniesienia składnika.
Ciekawostka: nierówność daje często nieskończenie wiele odpowiedzi
Równanie 2x = 10 ma jedno rozwiązanie: x = 5. Nierówność 2x < 10 ma nieskończenie wiele rozwiązań: każda liczba mniejsza od 5 spełnia warunek. Dlatego odpowiedź najczęściej zapisuje się jako przedział.
Sprawdź także
Pełna ścieżka algebry: Akademia algebry – wzory, równania, funkcje i wielomiany prowadzi od tej tablicy do kalkulatorów i poradników o przekształceniach, równaniach, ciągach, potęgach, logarytmach, macierzach i wielomianach.