Liczby ujemne na osi liczbowej
Liczby ujemne leżą po lewej stronie zera, a dodatnie po prawej. Im bardziej w lewo znajduje się liczba, tym jest mniejsza. Dlatego -8 < -3, mimo że 8 jest większe od 3. Przy porównywaniu liczb ujemnych pomaga wyobrażenie osi liczbowej i odległości od zera.
Ta tablica rozwija najważniejsze zasady znaków: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, minus przed nawiasem, potęgi liczb ujemnych, wartość bezwzględną oraz typowe błędy. Pełne wyjaśnienie znajdziesz w poradniku kolejność działań, liczby ujemne i nawiasy.
Porównywanie liczb ujemnych
| Porównanie | Wynik | Wyjaśnienie |
|---|---|---|
| -3 i -8 | -3 > -8 | -3 leży bliżej zera |
| -12 i -5 | -12 < -5 | -12 leży bardziej w lewo |
| 0 i -4 | 0 > -4 | zero jest większe od każdej liczby ujemnej |
| -0,5 i -0,8 | -0,5 > -0,8 | -0,5 jest bliżej zera |
| -100 i -99 | -100 < -99 | -100 leży bardziej w lewo na osi |
Do kontroli porównania możesz użyć kalkulatora porównywania liczb.
Dodawanie liczb ujemnych
Dodatnia + ujemna
7 + (-4) = 7 - 4 = 3
Ujemna + dodatnia
-6 + 10 = 4
Ujemna + ujemna
-6 + (-3) = -9
Odejmowanie liczb ujemnych
Najważniejsza zasada: odejmowanie liczby ujemnej zamienia się w dodawanie liczby dodatniej. W zapisie pojawiają się dwa minusy obok siebie i dają plus.
5 - (-3)
5 + 3 = 8
-2 - (-7)
-2 + 7 = 5
-4 - 6
-10, bo przesuwamy się w lewo
Mnożenie i dzielenie – reguła znaków
| Znaki | Wynik | Mnożenie | Dzielenie |
|---|---|---|---|
| + i + | dodatni | 3 · 5 = 15 | 15 : 3 = 5 |
| - i - | dodatni | (-3) · (-5) = 15 | (-15) : (-3) = 5 |
| + i - | ujemny | 3 · (-5) = -15 | 15 : (-3) = -5 |
| - i + | ujemny | (-3) · 5 = -15 | (-15) : 3 = -5 |
Reguła działa tak samo dla ułamków i liczb dziesiętnych: liczymy wartość liczbową, a znak ustalamy na końcu.
Minus przed nawiasem
Prosty nawias
10 - (3 + 4) = 10 - 3 - 4 = 3
Nawias z minusem
8 - (5 - 2 + 1) = 8 - 5 + 2 - 1 = 4
Jeżeli nawias występuje w równaniu, przejdź do kalkulatora równań z nawiasami.
Potęgi liczb ujemnych
Przy potęgach ważne jest, czy minus jest w nawiasie. Zapis (-3)² i -3² nie oznaczają tego samego.
| Zapis | Obliczenie | Wynik | Uwaga |
|---|---|---|---|
| (-3)² | (-3) · (-3) | 9 | potęgujemy całą liczbę -3 |
| -3² | -(3 · 3) | -9 | minus stoi przed potęgą |
| (-2)³ | (-2) · (-2) · (-2) | -8 | nieparzysta potęga zachowuje minus |
| (-2)^4 | cztery czynniki ujemne | 16 | parzysta potęga daje plus |
Wartość bezwzględna
Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi liczbowej. Odległość nigdy nie jest ujemna, dlatego |-7| = 7 i |7| = 7.
| Zapis | Znaczenie | Wynik |
|---|---|---|
| |-8| | odległość -8 od zera | 8 |
| |5| | odległość 5 od zera | 5 |
| |0| | odległość 0 od zera | 0 |
| |-3| + |2| | 3 + 2 | 5 |
Do obliczeń użyj kalkulatora wartości bezwzględnej.
Zadania kontrolne
| Zadanie | Odpowiedź | Temat |
|---|---|---|
| -4 + 9 | 5 | dodawanie |
| 7 - (-5) | 12 | odejmowanie liczby ujemnej |
| (-6) · (-2) | 12 | mnożenie |
| 24 : (-3) | -8 | dzielenie |
| 10 - (4 - 7) | 13 | minus przed nawiasem |
| (-5)² - 10 | 15 | potęga |
| |-12| - 5 | 7 | wartość bezwzględna |
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy liczbach ujemnych najpierw ustal, czy znak minus należy do liczby, działania czy nawiasu. To jedna z najprostszych metod uniknięcia błędów przy odejmowaniu, potęgach i dłuższych przykładach.