Jak połączyć funkcję wykładniczą i logarytmiczną?
Funkcja wykładnicza ma zmienną w wykładniku potęgi, a funkcja logarytmiczna jest jej odwrotnością. Jeśli wiesz, że 23=8, to od razu wiesz też, że log28=3. W zadaniach najczęściej trzeba rozpoznać wykres, podać dziedzinę, zbiór wartości, asymptotę, monotoniczność albo rozwiązać proste równanie wykładnicze lub logarytmiczne.
Wzory w formie tabeli znajdziesz w tablicy funkcje wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne. Do obliczeń użyj kalkulatora logarytmów albo kalkulatora notacji wykładniczej.
Funkcja wykładnicza — wzór i podstawowe własności
Podstawowy zapis to f(x)=ax, gdzie a>0 i a≠1. Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości jest (0,∞). Wykres zawsze przechodzi przez punkt (0,1) i nie przecina osi X.
Gdy a>1
Funkcja rośnie. Im większy x, tym szybciej rośnie wartość funkcji.
Gdy 0<a<1
Funkcja maleje, ale wartości nadal są dodatnie.
Funkcja logarytmiczna — wzór i dziedzina
Podstawowy zapis to f(x)=logax, gdzie a>0 i a≠1. Dziedzina to (0,∞), bo argument logarytmu musi być dodatni. Zbiór wartości to wszystkie liczby rzeczywiste.
Gdy a>1
Funkcja rośnie i przechodzi przez punkt (1,0).
Gdy 0<a<1
Funkcja maleje i również ma miejsce zerowe x=1.
Porównanie wykładniczej i logarytmicznej
| Własność | Funkcja wykładnicza ax | Funkcja logarytmiczna logax |
|---|---|---|
| Dziedzina | R | (0,∞) |
| Zbiór wartości | (0,∞) | R |
| Punkt charakterystyczny | (0,1) | (1,0) |
| Asymptota | y=0 | x=0 |
| Miejsce zerowe | brak | x=1 |
| Monotoniczność | zależy od podstawy a | zależy od podstawy a |
| Relacja | funkcja pierwotna | funkcja odwrotna |
Jak rozpoznać wykres?
Wykres funkcji wykładniczej jest cały nad osią X i przechodzi przez (0,1). Wykres logarytmu istnieje tylko dla dodatnich x i przechodzi przez (1,0). Oba wykresy są symetryczne względem prostej y=x, gdy mają tę samą podstawę.
Wykładnicza
Patrz, czy wykres ma poziomą asymptotę i czy jego wartości są dodatnie.
Logarytmiczna
Patrz, czy wykres ma pionową asymptotę i czy zaczyna się tylko dla x>0.
Odczytywanie dziedziny i zbioru wartości z wykresu możesz przećwiczyć w poradniku jak odczytywać wykres funkcji.
Równania wykładnicze krok po kroku
W prostych równaniach wykładniczych sprowadzasz obie strony do tej samej podstawy. Gdy podstawy są takie same, porównujesz wykładniki.
Przykład 1
2x=32. Ponieważ 32=25, mamy x=5.
Przykład 2
3x+1=27. Ponieważ 27=33, mamy x+1=3, więc x=2.
Równania logarytmiczne krok po kroku
W równaniach logarytmicznych najpierw pilnuj dziedziny, czyli dodatniego argumentu logarytmu. Potem korzystaj z definicji logarytmu: logab=c oznacza ac=b.
Przykład 1
log2x=5. Z definicji: x=25=32.
Przykład 2
log3(x-1)=2. Dziedzina: x>1. Z definicji: x-1=9, więc x=10.
Przesunięcia wykresów i asymptot
Przesunięcia wykładniczej i logarytmicznej działają jak przy innych funkcjach, ale trzeba pamiętać o asymptotach. Dla ax+q asymptota pozioma y=0 przesuwa się do y=q. Dla loga(x-p) asymptota pionowa x=0 przesuwa się do x=p.
| Zapis | Efekt | Asymptota po zmianie |
|---|---|---|
| ax+3 | wykres w górę o 3 | y=3 |
| ax-2 | wykres w prawo o 2 | y=0 |
| loga(x-4) | logarytm w prawo o 4 | x=4 |
| logax-2 | logarytm w dół o 2 | x=0 |
Szczegółowy schemat przesunięć znajdziesz w poradniku przekształcenia wykresów funkcji krok po kroku.
Typowe zadania z odpowiedziami
Zadanie 1
Podaj dziedzinę f(x)=log2(x+5).
x+5>0, więc x>-5. Dziedzina: (-5,∞).
Zadanie 2
Podaj zbiór wartości f(x)=3x-4.
Dla 3x mamy (0,∞). Po przesunięciu w dół: (-4,∞).
Zadanie 3
Rozwiąż 5x=125.
125=53, więc x=3.
Zadanie 4
Rozwiąż log4x=2.
x=42=16.
Najczęstsze błędy
- Podawanie dziedziny logarytmu jako R zamiast warunku na dodatni argument.
- Zapominanie, że funkcja wykładnicza ax ma dodatnie wartości.
- Mylenie punktów (0,1) i (1,0).
- Nieprzesuwanie asymptoty po zmianie wzoru.
- Porównywanie wykładników bez sprowadzenia do tej samej podstawy.
- Rozwiązywanie równania logarytmicznego bez sprawdzenia dziedziny.
- Mylenie funkcji odwrotnej z funkcją przeciwną.
Ciekawostka: logarytm to pytanie o wykładnik
Logarytm nie jest osobnym dziwnym działaniem, tylko pytaniem: do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać daną liczbę. Dlatego log28=3 oznacza dokładnie to samo, co 23=8.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy funkcji logarytmicznej zawsze zaczynaj od dziedziny, a przy funkcji wykładniczej od zbioru wartości i asymptoty. To dwie informacje, które najczęściej porządkują całe zadanie i chronią przed błędnym wykresem.
Zobacz cały pakiet: Akademia funkcji, wykresów i analizy funkcji porządkuje wzory, kalkulatory, tablice i kolejne kroki analizy od prostych wykresów po pochodne i całki.