Na czym polega arytmetyka binarna?
System binarny ma podstawę 2 i używa tylko dwóch cyfr: 0 i 1. Każda pozycja ma wartość będącą kolejną potęgą liczby 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32 i tak dalej.
Reguły działań są podobne do tych znanych z systemu dziesiętnego, ale przeniesienie lub pożyczka pojawia się już po przekroczeniu wartości 1. To dlatego w dodawaniu 1 + 1 zapisujemy 0 i przenosimy 1 do następnej kolumny.
Kalkulator nie służy do zamiany BIN na DEC, HEX lub OCT. Jeśli potrzebujesz takiej konwersji, użyj kalkulatora systemów liczbowych BIN, OCT, DEC i HEX.
Tutaj najważniejsze jest samo działanie: jak powstaje suma, różnica albo iloczyn dwóch liczb zapisanych binarnie.
Dodawanie binarne – jak działa przeniesienie?
Dodawanie wykonujemy od prawej strony, czyli od najmniej znaczącego bitu. Jeśli suma w kolumnie wynosi 0 albo 1, zapisujemy ją bezpośrednio. Jeśli wynosi 2, w zapisie binarnym jest to 10₂: zapisujemy 0, a 1 przenosimy do następnej kolumny.
Gdy do kolumny dochodzi wcześniejsze przeniesienie i mamy 1 + 1 + 1, otrzymujemy 3 dziesiętnie, czyli 11₂. W bieżącej kolumnie zapisujemy 1, a drugą jedynkę przenosimy dalej.
W tym przykładzie 1011₂ to 11 dziesiętnie, a 0110₂ to 6. Suma wynosi 17, czyli 10001₂.
Wynik może mieć o jeden bit więcej niż najdłuższy składnik, ponieważ ostatnie przeniesienie może utworzyć nową pozycję z lewej strony.
Odejmowanie binarne – kiedy trzeba pożyczyć?
Odejmowanie także zaczynamy od prawej strony. Działania 0 − 0, 1 − 0 i 1 − 1 są bezpośrednie. Problem pojawia się przy 0 − 1. Wtedy trzeba pożyczyć 1 z kolejnej pozycji.
Pożyczona jedynka z wyższej pozycji ma w bieżącej kolumnie wartość 2 dziesiętnie, czyli 10₂. Dlatego 10₂ − 1₂ = 1₂.
Jeżeli A jest mniejsze od B, zwykła arytmetyka daje wynik ujemny. Kalkulator pokaże wtedy minus przed wartością binarną, np. −101₂. Nie zamienia wyniku na kod U2, ponieważ U2 jest osobnym sposobem reprezentacji liczb ze znakiem.
Przed ręcznym odejmowaniem warto więc najpierw porównać wartości A i B. Jeśli A < B, można policzyć B − A, a przed wynikiem dopisać minus.
Mnożenie binarne – dlaczego jest prostsze niż dziesiętne?
W mnożeniu binarnym każda cyfra mnożnika jest tylko zerem albo jedynką. Z tego wynikają dwie reguły: liczba pomnożona przez 0 daje 0, a pomnożona przez 1 pozostaje bez zmian.
Kolejne iloczyny częściowe przesuwamy o jedną pozycję w lewo, dokładnie tak jak w mnożeniu pisemnym w systemie dziesiętnym. Przesunięcie binarne o jedną pozycję w lewo odpowiada pomnożeniu przez 2.
1011₂ = 11, a 0110₂ = 6. Iloczyn dziesiętny 11 × 6 = 66, a 66 zapisane binarnie to 1000010₂.
Dzięki temu mnożenie binarne dobrze pokazuje związek pomiędzy bitami, przesunięciami i potęgami liczby 2.
Dla ucznia i studenta – jak rozwiązać działanie binarne krok po kroku?
1. Sprawdź zapis. W liczbie binarnej mogą występować tylko 0 i 1. Cyfra 2, 5 albo 9 oznacza błąd.
2. Wyrównaj liczby do prawej. Możesz dopisać zera z lewej strony. Nie zmieniają wartości liczby, ale ułatwiają działanie kolumnowe.
3. Zacznij od najmniej znaczącego bitu. W dodawaniu i odejmowaniu idź od prawej do lewej.
4. Pilnuj przeniesienia albo pożyczki. To najczęstsze źródło błędów w ręcznych obliczeniach.
5. Przy mnożeniu zapisuj iloczyny częściowe. Dla bitu 1 przepisujesz liczbę A z odpowiednim przesunięciem, dla bitu 0 wpisujesz zera.
6. Sprawdź wynik dziesiętnie. To dobra kontrola rachunku, ale nie zastępuje nauki działania binarnego.
Jeśli chcesz sprawdzić wartość BIN w innych systemach, skorzystaj z konwertera systemów liczbowych. Do szybkiej zamiany samego BIN na HEX służy także konwerter BIN → HEX.
Pozostałe narzędzia informatyczne znajdziesz w kategorii Informatyka.
Najczęstsze błędy w arytmetyce binarnej
- Użycie cyfr innych niż 0 i 1. Liczba 10201 nie jest poprawnym zapisem binarnym.
- Brak wyrównania do prawej. Bity o tej samej wadze muszą znaleźć się w jednej kolumnie.
- 1 + 1 = 2. W systemie binarnym wynik zapisujemy jako 10₂, czyli 0 i przeniesienie 1.
- Pominięcie przeniesienia. Przeniesiona jedynka bierze udział w następnej kolumnie.
- 0 − 1 bez pożyczki. Trzeba pożyczyć z pozycji o większej wadze.
- Brak przesunięcia w mnożeniu. Każdy kolejny iloczyn częściowy odpowiada wyższej potędze 2.
- Mylenie zwykłej liczby ujemnej z U2. Zapis −101₂ i kod uzupełnienia do dwóch to dwa różne sposoby prezentacji.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Spróbuj wykonać działanie pisemnie, a potem kliknij „Pokaż wynik”.
Zadanie 1 – dodawanie
Oblicz: 10101₂ + 00111₂.
Wynik: 11100₂, czyli 28 dziesiętnie.
Zadanie 2 – odejmowanie
Oblicz: 11010₂ − 00111₂.
Wynik: 10011₂, czyli 19 dziesiętnie.
Zadanie 3 – mnożenie
Oblicz: 101₂ × 110₂.
101₂ = 5, a 110₂ = 6.
5 × 6 = 30, czyli 11110₂.
Wynik: 11110₂.
Warto zapamiętać: przesunięcie w lewo mnoży przez 2
Jeżeli do niezerowej liczby binarnej dopiszesz z prawej strony jedno zero, jej wartość zostanie pomnożona przez 2. Dwa zera oznaczają mnożenie przez 4, trzy zera przez 8.
Przykład: 101₂ = 5, 1010₂ = 10, 10100₂ = 20. Ta zależność jest podstawą iloczynów częściowych w mnożeniu binarnym.
Powiązane narzędzia z informatyki
Do zamiany BIN, OCT, DEC i HEX użyj kalkulatora systemów liczbowych.
Jeśli interesuje Cię wyłącznie szybkie przejście z binarnego do szesnastkowego, wybierz konwerter BIN → HEX.
Do nauki innego sposobu kodowania wartości bitowych służy kalkulator kodu Graya.
Pozostałe narzędzia znajdziesz w kategorii Informatyka.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy ręcznym liczeniu najpierw wyrównaj obie liczby do prawej i dopisz zera z lewej strony. Dzięki temu każda kolumna odpowiada tej samej potędze liczby 2.
Po zakończeniu możesz sprawdzić działanie dziesiętnie, ale podczas nauki warto prześledzić przeniesienia, pożyczki i przesunięcia bez przechodzenia od razu na system DEC.