Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego? Wzór na Sₙ
Jeżeli znasz pierwszy i n-ty wyraz, użyj najkrótszej postaci:
Gdy nie znasz aₙ, ale znasz różnicę r, podstaw aₙ = a₁+(n−1)r. Otrzymasz drugi popularny wzór:
Przykład: a₁=5, r=3, n=10. Najpierw a₁₀=5+9·3=32. Następnie S₁₀=10/2·(5+32)=5·37=185.
Jeśli szukasz właśnie „wzoru na sumę ciągu arytmetycznego”, kluczowe jest ustalenie, czy w danych występuje aₙ, czy r. Obie postacie wzoru dają ten sam wynik.
Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?
Wzór na n-ty wyraz to aₙ=a₁+(n−1)r. Liczba n oznacza numer wyrazu, a nie wartość wyrazu. Dlatego dla a₁=4, r=3 i n=10 mamy a₁₀=4+9·3=31.
Najczęstszy błąd to użycie n·r zamiast (n−1)·r. Między pierwszym a dziesiątym wyrazem są dziewięć zmian o r, nie dziesięć.
Gdy znasz dwa inne wyrazy, np. a₃ i a₉, najpierw wyznacz r, a potem cofnij się do a₁. Kalkulator robi to automatycznie w trybie „Znam dwa wyrazy”.
Jak znaleźć różnicę r z dwóch wyrazów?
Jeśli znamy aᵢ i aⱼ, między indeksami i oraz j występuje j−i jednakowych kroków. Różnicę wartości trzeba więc podzielić przez różnicę indeksów:
Przykład: a₃=11 i a₉=35. Mamy r=(35−11)/(9−3)=24/6=4. Następnie a₁=a₃−2r=11−8=3.
Jeżeli r>0, ciąg rośnie; gdy r<0, maleje; dla r=0 wszystkie wyrazy są równe.
Dla ucznia - ciąg arytmetyczny krok po kroku
Rozwiążmy dokładnie zadanie: „Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym a₁=5 i r=3. Oblicz a₁₀ oraz S₁₀.”
a₁=5, r=3, n=10. Szukamy a₁₀ i S₁₀.
aₙ=a₁+(n−1)r.
a₁₀=5+(10−1)·3=5+27=32.
Sₙ=n/2·(a₁+aₙ).
S₁₀=10/2·(5+32)=5·37=185.
Dziesiąty wyraz wynosi 32, a suma dziesięciu pierwszych wyrazów wynosi 185.
Dlaczego najpierw liczymy a₁₀? Nie jest to konieczne, bo można użyć wzoru z r, ale wzór Sₙ=n/2·(a₁+aₙ) jest często łatwiejszy do zapamiętania i kontroli.
W zadaniu tekstowym zawsze podpisuj symbole. Samo „n=10” nie znaczy „aₙ=10”. Numer wyrazu i wartość wyrazu są różnymi wielkościami.
Jak rozpoznać ciąg arytmetyczny?
Sprawdź różnice między kolejnymi wyrazami. Dla 2, 5, 8, 11 mamy 5−2=3, 8−5=3 i 11−8=3, więc r=3 i ciąg jest arytmetyczny.
Jeżeli zamiast stałej różnicy występuje stały iloraz, np. 2, 6, 18, 54, mamy ciąg geometryczny, a nie arytmetyczny. Podobnie wzrost o stały procent zwykle prowadzi do modelu geometrycznego.
Pełne zestawienie wzorów i różnic między tymi typami ciągów znajdziesz także w poradniku o ciągach arytmetycznych i geometrycznych.
Suma od aₚ do a_q - jak policzyć fragment ciągu?
Jeżeli nie sumujesz od a₁, najpierw policz skrajne wyrazy aₚ i a_q. Liczba składników od p do q włącznie wynosi q−p+1.
Przykład: a₁=1, r=2, p=4, q=10. Mamy a₄=7, a₁₀=19, a liczba składników to 7. Suma wynosi 7/2·(7+19)=91.
Tabela wzorów na ciąg arytmetyczny
| Co obliczamy? | Wzór | Potrzebne dane |
|---|---|---|
| n-ty wyraz | aₙ=a₁+(n−1)r | a₁, r, n |
| Suma n pierwszych wyrazów | Sₙ=n/2·(a₁+aₙ) | a₁, aₙ, n |
| Suma bez znanego aₙ | Sₙ=n/2·[2a₁+(n−1)r] | a₁, r, n |
| Różnica z dwóch wyrazów | r=(aⱼ−aᵢ)/(j−i) | aᵢ, aⱼ, i, j |
| Pierwszy wyraz | a₁=aᵢ−(i−1)r | aᵢ, i, r |
| Suma od p do q | (q−p+1)/2·(aₚ+a_q) | a₁, r, p, q |
Najczęstsze błędy w zadaniach z ciągu arytmetycznego
- n zamiast n−1: od a₁ do aₙ jest n−1 przyrostów o r.
- Mylenie aₙ z n: aₙ jest wartością wyrazu, a n jego numerem.
- Zła liczba kroków między aᵢ i aⱼ: dzielimy przez j−i, nie przez j.
- Zła liczba składników od p do q: jest ich q−p+1.
- Pomijanie znaku r: ujemne r oznacza ciąg malejący, ale wzory się nie zmieniają.
- Mylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym: w arytmetycznym stała jest różnica, w geometrycznym iloraz.
Ciekawostka
Klasyczny wzór na sumę ciągu arytmetycznego można zobaczyć na przykładzie 1+2+...+100. Łącząc pierwszy składnik z ostatnim, drugi z przedostatnim itd., otrzymujemy pary o sumie 101. To ten sam pomysł, który stoi za wzorem Sₙ=n/2·(a₁+aₙ).
Ciąg arytmetyczny w zadaniach tekstowych - jak go rozpoznać?
W treści zadania szukaj stałego przyrostu albo stałego spadku o tę samą liczbę. Przykłady: co miesiąc odkładamy o 50 zł więcej, każdy następny rząd ma o 3 miejsca więcej albo wysokość zmniejsza się w każdym kroku o 2 cm. W takich sytuacjach kolejne wartości często tworzą ciąg arytmetyczny.
Jeżeli zmiana jest procentowa, np. „co roku o 5% więcej”, przyrost nie jest stałą liczbą. Taki model jest zwykle geometryczny, dlatego przed użyciem wzoru na Sₙ zawsze sprawdź, czy stała jest różnica, a nie procent lub iloraz.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Na sprawdzianie zacznij od zapisania danych symbolami: a₁, r, n, aₙ albo Sₙ. Dopiero potem wybierz wzór. Jeżeli masz dwa znane wyrazy, najpierw policz r. Jeżeli masz sumę, sprawdź, czy łatwiej użyć postaci z aₙ, czy bezpośrednio z r.
Cała algebra w jednym miejscu: Akademia algebry – wzory, równania, funkcje i wielomiany łączy liczby i ułamki z wyrażeniami algebraicznymi, równaniami, nierównościami, ciągami, potęgami, logarytmami, wielomianami, liczbami zespolonymi, macierzami i układami równań.
Sprawdź się - ciąg arytmetyczny
Wpisz odpowiedź liczbową i kliknij Oblicz. Rozwiązanie pojawi się dopiero po Twojej próbie.