Geotechnika i mechanika gruntów - tablica wzorów

Najważniejsze wzory używane w przygotowanych kalkulatorach geotechnicznych: właściwości fazowe, uziarnienie, zagęszczenie, naprężenia, filtracja, wytrzymałość, parcie gruntu, nośność, osiadanie i konsolidacja.

Tablica służy jako ściąga do nauki i kontroli rachunków. Przy każdym wzorze jest link do kalkulatora, który wykonuje obliczenie i pokazuje założenia.

Nie wiesz, od którego wzoru zacząć?

Skorzystaj z poradnika Jak rozwiązywać zadania z mechaniki gruntów krok po kroku →. Poradnik pomaga rozpoznać typ zadania po danych i ułożyć kolejność obliczeń.

Chcesz uczyć się tematów w kolejności?

Przejdź do Akademii Geotechniki →. Łączy wszystkie 25 kalkulatorów, tę tablicę i poradnik w osiem kolejnych etapów nauki.

Przejdź do działu

Fazy i właściwości gruntu Uziarnienie i zagęszczenie Naprężenia Filtracja Wytrzymałość i stateczność Osiadanie i konsolidacja Symbole i jednostki

Fazy gruntu i podstawowe właściwości fizyczne

W procentach zawsze sprawdź, czy we wzorze używana jest wartość procentowa, czy ułamek dziesiętny. W poniższej tablicy zapis w[%] oznacza wilgotność w procentach.

Wielkość	Wzór	Uwagi	Kalkulator
Wilgotność gruntu	`w = (m_wil - m_s) / m_s · 100%`	Mianownikiem jest masa suchego gruntu.	Wilgotność gruntu
Gęstość objętościowa i sucha	`ρ = m/V` `ρ_d = ρ / (1 + w/100)`	Dla bezpośrednio znanej masy suchej: `ρd = ms/V`.	Gęstość gruntu
Gęstość właściwa ziaren	`G_s = ρ_s/ρ_w` `G_s = M_s/(M_s + M_pw - M_psw) · K`	W wariancie piknometru symbole mas muszą odnosić się do tego samego naczynia i warunków badania.	Gs z piknometru
Wskaźnik porowatości i porowatość	`e = G_sρ_w/ρ_d - 1` `n = e/(1+e)`	Jeżeli n ma być w procentach, wynik ułamkowy pomnóż przez 100.	Porowatość n i e
Stopień wilgotności	`S_r[%] = w[%] · G_s / e`	Równoważnie dla w jako ułamka: `Sr = w·Gs/e`.	Stopień wilgotności Sr

Uziarnienie, konsystencja i zagęszczenie

Wielkość	Wzór	Uwagi	Kalkulator
Współczynniki uziarnienia	`C_u = d₆₀/d₁₀` `C_c = d₃₀²/(d₁₀d₆₀)`	d10, d30 i d60 odczytuje się z krzywej uziarnienia.	Cu i Cc
Granice Atterberga	`I_P = LL - PL` `I_L = (w - PL)/I_P` `I_C = 1 - I_L`	LL, PL i w muszą być zapisane w tej samej skali procentowej.	IP, IL i IC
Badanie Proctora	`ρ_d = ρ/(1+w/100)`	`wopt` i `ρd,max` wynikają z maksimum krzywej wilgotność-sucha gęstość; nie ma jednego uniwersalnego wzoru na wopt.	Badanie Proctora
Wskaźnik zagęszczenia	`I_s = ρ_d/ρ_d,max`	Porównuje suchą gęstość wbudowanego gruntu z wartością referencyjną z badania.	Wskaźnik Is
Stopień zagęszczenia gruntu niespoistego	`I_D = (e_max-e)/(e_max-e_min)`	Wartości emin i emax dotyczą odpowiednio stanu najgęstszego i najluźniejszego.	Stopień ID

Naprężenia w gruncie i rozkład obciążenia

Wielkość	Wzór	Założenie / interpretacja	Kalkulator
Naprężenie całkowite, porowe i efektywne	`σ = Σγ_ih_i` `u = γ_wh_w` `σ′ = σ - u`	Ciśnienie porowe hydrostatyczne liczy się od poziomu zwierciadła wody.	Naprężenie efektywne
Boussinesq - siła skupiona	`Δσ_z = 3Qz³ / [2π(r²+z²)^5/2]`	Model sprężystej, jednorodnej i izotropowej półprzestrzeni.	Boussinesq Δσz
Metoda 2:1	`Δσ_z = qBL / [(B+z)(L+z)]`	Uproszczone rozpraszanie obciążenia pod prostokątnym polem B × L.	Metoda 2:1

Filtracja i przepływ wody przez grunt

Wielkość	Wzór	Uwagi	Kalkulator
Prawo Darcy'ego	`i = Δh/L` `v = ki` `Q = kiA`	Q jest strumieniem objętości; jednostka k musi być zgodna z jednostką czasu.	Prawo Darcy'ego
Próba zmiennego naporu	`k = (aL)/(At) · ln(h₁/h₂)`	a - pole rurki, A - pole próbki, L - długość próbki.	Falling-head
Gradient krytyczny	`i_cr = (G_s-1)/(1+e)` `FS = i_cr/i`	Prosty model stanu krytycznego przy filtracji ku górze przez grunt nasycony.	Gradient krytyczny

Wytrzymałość, parcie gruntu, stateczność i nośność

Zagadnienie	Wzór	Zakres	Kalkulator
Mohr-Coulomb	`τ_f = c′ + σ′tanφ′`	Wersja w parametrach efektywnych c′, φ′ i σ′.	Mohr-Coulomb
Rankine, grunt bez kohezji	`K_a = (1-sinφ)/(1+sinφ)` `K_p = 1/K_a` `P_a = 0,5K_aγH² + K_aqH`	Płaska, pozioma zasypka i uproszczony model Rankine'a.	Rankine Ka i Kp
Rankine, grunt c-φ	`σ_ha = K_a(γz+q) - 2c′√K_a` `σ_hp = K_p(γz+q) + 2c′√K_p`	W stanie czynnym ujemna część teoretycznego wykresu nie jest traktowana jako rzeczywiste parcie rozciągające.	Rankine c-φ
Skarpa nieskończona, c′=0	`σ = γz cos²β` `τ = γz sinβ cosβ` `FS = (σ-u)tanφ′ / τ`	Model płytkiej powierzchni poślizgu równoległej do stoku, bez kohezji.	FS skarpy
Nośność fundamentu pasmowego	`q_ult = c′N_c + qN_q + 0,5γBN_γ`	Uproszczony model fundamentu pasmowego; współczynniki nośności zależą od φ′ i przyjętej konwencji.	Nośność graniczna

Osiadanie i konsolidacja

Zagadnienie	Wzór	Uwagi	Kalkulator
Osiadanie z modułu ściśliwości	`s = HΔσ′/M`	Dla kilku warstw sumuje się wkłady `s_i`.	Osiadanie z M
Konsolidacja NC z Cc	`s = H·C_c/(1+e₀) · log₁₀[(σ′₀+Δσ′)/σ′₀]`	Dla gruntu prekonsolidowanego kalkulator rozdziela odcinek rekompresji Cr i virgin compression Cc względem σ′p.	Osiadanie Cc/Cr
Czas konsolidacji	`T_v = C_vt/H_dr²` `t = T_vH_dr²/C_v`	Dla drenażu dwustronnego typowo `Hdr = H/2`, a dla jednostronnego `Hdr = H`.	Cv, Tv, t50 i t90
Stopień prekonsolidacji	`OCR = σ′_p/σ′_v0`	OCR≈1 odpowiada stanowi normalnie skonsolidowanemu; OCR>1 wskazuje historię większych naprężeń efektywnych.	OCR

Jak używać tej tablicy na kolokwium?

Najpierw wypisz dane i szukaną wielkość wraz z jednostkami.
Znajdź dział i wzór, ale nie podstawiaj liczb, dopóki nie sprawdzisz definicji symboli.
Przelicz jednostki przed wykonaniem działania.
Zachowaj większą dokładność wyników pośrednich i zaokrąglij dopiero wynik końcowy.
Jeśli zadanie wymaga kilku etapów, przejdź do kalkulatora wskazanego w ostatniej kolumnie i sprawdź założenia modelu.

Najczęstsze symbole i jednostki

Masy i gęstości

m - masa, V - objętość, ρ - gęstość objętościowa, ρd - sucha gęstość, γ - ciężar objętościowy, Gs - gęstość właściwa ziaren.

Fazy i stan gruntu

w - wilgotność, e - wskaźnik porowatości, n - porowatość, Sr - stopień wilgotności, Is - wskaźnik zagęszczenia, ID - stopień zagęszczenia.

Naprężenia i wytrzymałość

σ - naprężenie całkowite, u - ciśnienie porowe, σ′ - naprężenie efektywne, τ - naprężenie ścinające, c′ - kohezja efektywna, φ′ - efektywny kąt tarcia.

Konsolidacja i filtracja

k - współczynnik filtracji, i - gradient hydrauliczny, Cv - współczynnik konsolidacji, Tv - współczynnik czasu, Cc - wskaźnik ściśliwości, Cr - wskaźnik rekompresji.

Najczęstsza kontrola jednostek: 1 kPa = 1 kN/m², 1 Mg/m³ = 1000 kg/m³, a przy użyciu ρ w Mg/m³ ciężar objętościowy można orientacyjnie zapisać jako γ ≈ 9,81ρ kN/m³.

FAQ - tablica wzorów z mechaniki gruntów

Czy wszystkie wzory można stosować w każdym gruncie?

Nie. Każdy wzór ma własny zakres i założenia. Przykładowo model skarpy nieskończonej w przygotowanym kalkulatorze dotyczy gruntu bez kohezji, a rozwiązanie Boussinesqa zakłada idealizowaną sprężystą półprzestrzeń.

Czy w obliczeniach używać naprężenia całkowitego czy efektywnego?

Zależy od modelu. W wielu zagadnieniach wytrzymałości i konsolidacji stosowane są parametry efektywne, dlatego przed podstawieniem danych trzeba sprawdzić oznaczenia σ, u i σ′.

Dlaczego przy wilgotności czasem trzeba dzielić przez 100?

Wilgotność 12% można zapisać jako 12% albo 0,12. Wzór musi być zgodny z używaną postacią. Kalkulatory przyjmują wartości w jednostkach opisanych przy polach wejściowych.

Czy wynik z tablicy zastępuje projekt geotechniczny?

Nie. Tablica i kalkulatory pomagają w nauce, sprawdzaniu rachunków i prostych analizach orientacyjnych. Projekt wymaga pełnego rozpoznania podłoża, odpowiedniego modelu oraz zasad projektowych właściwych dla konstrukcji.

Ostatnia aktualizacja: 20.08.2026