Tablica rozkładów prawdopodobieństwa - wzory, średnia i wariancja
Porównaj najważniejsze rozkłady dyskretne i ciągłe: wzór funkcji prawdopodobieństwa lub gęstości, parametry, średnią, wariancję, typowe zastosowania oraz linki do kalkulatorów.
Zostań w temacie i policz rozkład w kalkulatorze
Ta tablica jest szybkim przewodnikiem po rozkładach prawdopodobieństwa. Jeśli chcesz od razu przejść od wzoru do obliczeń, wybierz kalkulator powiązany z danym rozkładem. W praktyce najczęściej zaczyna się od pytania, czy zmienna jest dyskretna, czy ciągła, a potem dopiero dobiera wzór i parametry.
Rozkłady dyskretne
Do zliczania sukcesów, prób, zdarzeń i wystąpień użyj m.in. rozkładu dwumianowego, hipergeometrycznego, ujemnego dwumianowego albo Poissona.
Rozkłady ciągłe
Do czasu, masy, długości, wyników pomiaru i zmiennych dodatnich przydadzą się normalny, wykładniczy, gamma, lognormalny i Weibulla.
Statystyka testowa
Do testów statystycznych i przedziałów ufności używa się m.in. t-Studenta, chi-kwadrat oraz F-Fishera.
Najważniejsze rozkłady dyskretne
Rozkłady dyskretne opisują zmienne, które przyjmują oddzielne wartości, najczęściej liczby całkowite. Są naturalne przy zliczaniu sukcesów, sztuk, awarii, kliknięć, błędów, osób, telefonów, zamówień albo prób do uzyskania zdarzenia.
| Rozkład | Parametry | Wzór | Średnia | Wariancja | Kiedy używać? |
|---|---|---|---|---|---|
| Bernoulliego | p | P(X=1)=p, P(X=0)=1-p | p | p(1-p) | Jedna próba: sukces albo porażka. |
| Dwumianowy | n, p | P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k) | np | np(1-p) | Liczba sukcesów w n niezależnych próbach. |
| Hipergeometryczny | N, K, n | P(X=k)=C(K,k)C(N-K,n-k)/C(N,n) | nK/N | n(K/N)(1-K/N)(N-n)/(N-1) | Losowanie bez zwracania z ograniczonej populacji. |
| Geometryczny | p | P(X=k)=(1-p)^(k-1)p | 1/p | (1-p)/p² | Liczba prób do pierwszego sukcesu. |
| Ujemny dwumianowy | r, p | P(X=k)=C(k-1,r-1)p^r(1-p)^(k-r) | r/p | r(1-p)/p² | Liczba prób do r-tego sukcesu. |
| Poissona | λ | P(X=k)=e^-λ λ^k/k! | λ | λ | Liczba zdarzeń w czasie, obszarze lub przedziale. |
| Jednostajny dyskretny | a, b | P(X=x)=1/(b-a+1) | (a+b)/2 | ((b-a+1)²-1)/12 | Każda liczba całkowita z zakresu jest równie możliwa. |
| Beta-dwumianowy | n, α, β | C(n,k)B(k+α,n-k+β)/B(α,β) | nα/(α+β) | nαβ(α+β+n)/[(α+β)²(α+β+1)] | Liczba sukcesów przy niepewnym prawdopodobieństwie p. |
Najważniejsze rozkłady ciągłe
Rozkłady ciągłe opisują zmienne mierzone na skali liczbowej, np. czas, masę, długość, temperaturę, wynik pomiaru, straty, kwoty albo czas życia elementu. W tabeli poniżej zamiast funkcji prawdopodobieństwa pojawia się gęstość, a prawdopodobieństwa oblicza się z pól pod krzywą.
| Rozkład | Parametry | Gęstość lub zapis | Średnia | Wariancja | Kiedy używać? |
|---|---|---|---|---|---|
| Normalny | μ, σ | f(x)=1/(σ√2π) exp[-(x-μ)²/(2σ²)] | μ | σ² | Wyniki pomiarów, błędy, cechy bliskie symetrii. |
| Jednostajny ciągły | a, b | f(x)=1/(b-a) | (a+b)/2 | (b-a)²/12 | Każda wartość w przedziale ma jednakową gęstość. |
| Wykładniczy | λ | f(x)=λe^-λx | 1/λ | 1/λ² | Czas oczekiwania na zdarzenie przy stałej intensywności. |
| Gamma | k, θ | f(x)=x^(k-1)e^(-x/θ)/(Γ(k)θ^k) | kθ | kθ² | Suma czasów oczekiwania, dodatnie zmienne skośne. |
| Weibulla | k, λ | f(x)=k/λ (x/λ)^(k-1)e^(-(x/λ)^k) | λΓ(1+1/k) | λ²[Γ(1+2/k)-Γ(1+1/k)²] | Niezawodność, czas życia, awarie, trwałość. |
| Lognormalny | μ, σ dla ln(X) | ln(X) ma rozkład normalny | exp(μ+σ²/2) | [exp(σ²)-1]exp(2μ+σ²) | Dane dodatnie, prawostronnie skośne, mnożnikowe wzrosty. |
| Beta | α, β | f(x)=x^(α-1)(1-x)^(β-1)/B(α,β) | α/(α+β) | αβ/[(α+β)²(α+β+1)] | Proporcje i prawdopodobieństwa z zakresu 0-1. |
| Pareto | xm, α | P(X≥x)=(xm/x)^α | αxm/(α-1), gdy α>1 | αxm²/[(α-1)²(α-2)], gdy α>2 | Ciężkie ogony, duże straty, zasada 80/20. |
Rozkłady używane w testach statystycznych
Część rozkładów pojawia się przede wszystkim przy testach statystycznych, przedziałach ufności i analizie wariancji. Nie zawsze opisują bezpośrednio surowe dane. Często opisują statystykę testową, czyli wartość obliczoną z próby.
| Rozkład | Parametry | Typowe zastosowanie | Powiązany kalkulator |
|---|---|---|---|
| t-Studenta | ν - stopnie swobody | Średnia z małej próby, test t, przedział ufności średniej przy nieznanym σ. | rozkład t-Studenta |
| Chi-kwadrat | ν - stopnie swobody | Test niezależności, test zgodności, wariancja, tabele kontyngencji. | rozkład chi-kwadrat |
| F-Fishera | ν1, ν2 | Porównanie wariancji, ANOVA, modele regresyjne. | rozkład F-Fishera |
| Normalny standardowy | μ=0, σ=1 | z-score, przybliżenia normalne, testy proporcji, centralne twierdzenie graniczne. | z-score |
Jak wybrać właściwy rozkład?
Najpierw sprawdź, co opisuje zmienna. Jeśli liczysz sukcesy w ustalonej liczbie prób, najczęściej pasuje rozkład dwumianowy. Jeśli losujesz bez zwracania z małej populacji, lepszy będzie hipergeometryczny. Jeśli liczysz zdarzenia w czasie i zdarzenia są rzadkie, naturalnym kandydatem jest Poisson.
Przy zmiennych ciągłych wybór zależy od kształtu danych. Rozkład normalny pasuje do danych symetrycznych. Gamma, lognormalny i Weibulla są często używane dla danych dodatnich i skośnych. Pareto jest dobrym modelem dla ciężkich ogonów, gdzie bardzo duże wartości występują rzadko, ale mają duży wpływ na wynik.
Jeśli dane pochodzą z próby i chcesz wykonać test, rozkład wybiera się według statystyki testowej. Dla średniej często pojawia się t-Studenta, dla tabel i wariancji chi-kwadrat, a przy porównaniu kilku grup lub wariancji F-Fishera.
Krótka mapa decyzji
Liczę sukcesy
Użyj Bernoulliego dla jednej próby, dwumianowego dla n prób, hipergeometrycznego dla losowania bez zwracania albo beta-dwumianowego, gdy prawdopodobieństwo sukcesu nie jest pewne.
Liczę zdarzenia
Gdy interesuje Cię liczba wystąpień w czasie, powierzchni lub przedziale, zacznij od Poissona. Gdy interesuje Cię czas oczekiwania na zdarzenie, sprawdź rozkład wykładniczy.
Mam dane dodatnie i skośne
Porównaj rozkład lognormalny, gamma i Weibulla. Jeśli ogon jest bardzo ciężki, rozważ Pareto.
Najczęstsze pomyłki przy rozkładach
- Mylenie losowania ze zwracaniem i bez zwracania - ze zwracaniem częściej pasuje dwumianowy, bez zwracania hipergeometryczny.
- Używanie rozkładu normalnego do wszystkiego - dane dodatnie i skośne często wymagają gamma, lognormalnego albo Weibulla.
- Ignorowanie warunków istnienia średniej i wariancji - np. w Pareto średnia i wariancja nie zawsze istnieją.
- Mylenie parametryzacji - gamma, Weibull i ujemny dwumianowy mogą mieć różne zapisy parametrów w różnych źródłach.
- Ocena tylko po średniej - dwa rozkłady mogą mieć tę samą średnią, ale zupełnie inną wariancję i ogony.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy wyborze rozkładu nie zaczynaj od wzoru, tylko od pytania o mechanizm danych. Czy liczysz sukcesy, czas oczekiwania, zdarzenia w przedziale, proporcję, wynik pomiaru czy skrajną stratę? Mechanizm zwykle szybciej prowadzi do właściwego rozkładu niż dopasowywanie symboli.
Główna mapa działu: Akademia matematyki – kalkulatory, tablice i poradniki łączy tę tablicę z odpowiednimi kalkulatorami, poradnikami oraz osobnymi Akademiami algebry, geometrii, funkcji, matematyki dyskretnej i statystyki.
Nie wiesz, który rozkład wybrać?
Ta tablica pomaga szybko porównać wzory, średnią i wariancję, ale wybór rozkładu zależy od rodzaju danych. Do praktycznej decyzji przejdź do poradnika: jaki rozkład prawdopodobieństwa wybrać. Cały zestaw kalkulatorów, tablic i ścieżek tematycznych znajdziesz w akademii statystyki, prawdopodobieństwa i rozkładów.