Co sprawdzić po obliczeniu rozkładu jednostajnego?
Porównaj wynik z innymi rozkładami ciągłymi albo przejdź do szerszego działu statystyki i prawdopodobieństwa.
Co to jest rozkład jednostajny ciągły?
Rozkład jednostajny ciągły opisuje sytuację, w której gęstość jest stała na całym przedziale od a do b. Oznacza się go zwykle jako U(a,b).
Jeżeli dwa fragmenty przedziału mają taką samą długość, mają też takie samo prawdopodobieństwo. Rozkład pojawia się m.in. w zadaniach o losowym czasie, położeniu albo liczbie rzeczywistej z ustalonego zakresu.
Poza przedziałem [a,b] gęstość wynosi 0, a łączne pole pod wykresem gęstości jest równe 1.
Najważniejsze wzory dla U(a,b)
Jak liczyć prawdopodobieństwo przedziału?
W rozkładzie jednostajnym prawdopodobieństwo jest udziałem długości szukanego fragmentu w długości całego przedziału.
Jeżeli [c,d] częściowo wychodzi poza [a,b], liczy się tylko wspólny fragment. Jeżeli c jest większe od d, dane są odwrócone i trzeba je poprawić zamiast zamieniać granice po cichu.
Dystrybuanta F(x)
Dystrybuanta podaje P(X≤x). Dla rozkładu jednostajnego ma trzy części:
F(x)=(x−a)/(b−a) dla a<x<b
F(x)=1 dla x≥b
Ponieważ rozkład jest ciągły, pojedynczy punkt ma prawdopodobieństwo 0. Dlatego użycie < albo ≤ nie zmienia wyniku prawdopodobieństwa.
Przykład krok po kroku
Niech X~U(10,30). Chcemy policzyć P(14≤X≤22). Cały przedział ma długość 20, a szukany fragment ma długość 8.
Ten sam wynik otrzymamy dla dowolnego innego fragmentu długości 8, który w całości mieści się w [10,30].
Zadania przykładowe
Zadanie 1
X~U(0,10). Oblicz P(2≤X≤6).
Odpowiedź: (6−2)/(10−0)=0,4.
Zadanie 2
X~U(4,12). Ile wynosi średnia?
Odpowiedź: (4+12)/2=8.
Zadanie 3
X~U(0,20). Jaki jest kwantyl 0,75?
Odpowiedź: 0+0,75·20=15.
Zadanie 4
Dlaczego P(X=5)=0?
Odpowiedź: pojedynczy punkt ma długość 0 w rozkładzie ciągłym.
Najczęstsze błędy
- Mylenie gęstości z prawdopodobieństwem. Wartość 1/(b−a) jest wysokością wykresu, a prawdopodobieństwo przedziału jest polem.
- Liczenie fragmentu poza [a,b]. Poza zakresem rozkładu gęstość wynosi 0.
- Zamienianie granic bez sprawdzenia. Dla przedziału trzeba podać c≤d, a dla rozkładu a<b.
- Traktowanie pojedynczego punktu jak przedziału. Dla zmiennej ciągłej P(X=x)=0.
- Zaokrąglanie przed końcem obliczeń. Kalkulator liczy na pełnych wartościach, a dopiero wynik pokazuje z wybraną dokładnością.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Narysuj odcinek [a,b] i zaznacz szukany fragment. Przy rozkładzie jednostajnym zwykle od razu widać, że prawdopodobieństwo to długość zaznaczonej części podzielona przez długość całego odcinka.
Więcej narzędzi: rozkład normalny, rozkład wykładniczy oraz Statystyka, prawdopodobieństwo i rozkłady – akademia obliczeń.
FAQ - rozkład jednostajny ciągły
Ostatnia aktualizacja: 29.09.2026