Dalsze kroki w Drogownictwie
Po obliczeniu wyniku możesz od razu sprawdzić wyjaśnienie, wartości pomocnicze i kolejne obliczenie z tego samego etapu pracy.
Klotoida jest najczęściej stosowaną krzywą przejściową pomiędzy prostą a łukiem kołowym. Jej charakterystyczną cechą jest liniowa zmiana krzywizny wraz z drogą przebytą wzdłuż krzywej: na początku promień jest nieskończony, a na końcu osiąga promień R łuku kołowego.
Jeżeli znasz już promień i kąt łuku kołowego, możesz wcześniej skorzystać z kalkulatora łuku kołowego drogi. Jeżeli analizujesz zmianę pochylenia poprzecznego na łuku, przydatny będzie również kalkulator przechyłki.
Podstawowa zależność klotoidy A² = R · L
Parametr klotoidy A, promień krzywizny R w jej końcowym punkcie i długość L są związane prostą zależnością:
Z jednego wzoru można otrzymać trzy praktyczne postacie:
Kalkulator pozwala wybrać, która z tych trzech wielkości jest niewiadomą. Pozostałe parametry geometryczne wyznacza już z otrzymanego kompletu A, R i L.
Ciekawostka
W klotoidzie krzywizna nie pojawia się skokowo. Rośnie liniowo od zera na prostej do 1/R na końcu krzywej, dzięki czemu zmiana kierunku ruchu jest geometrycznie płynniejsza niż przy bezpośrednim połączeniu prostej z łukiem kołowym.
Kąt zwrotu na długości krzywej przejściowej
Kąt stycznej w punkcie oddalonym o s od początku klotoidy wynosi:
Dla końca krzywej, gdzie s = L oraz A² = R·L, zależność upraszcza się do:
WR-D-22-2 wskazuje jako jeden z warunków krzywej przejściowej kąt zwrotu trasy na jej długości w przedziale 3°–30°, przy czym dokument przewiduje wyjątki m.in. przy małym całkowitym kącie zwrotu trasy i na serpentynach. Kalkulator pokazuje więc ten zakres jako kontrolę pomocniczą, a nie automatyczną ocenę poprawności projektu.
Promień i krzywizna w dowolnym punkcie klotoidy
Ponieważ A² jest stałe, dla punktu oddalonego o s od początku można zapisać:
Dla s = 0 promień dąży do nieskończoności i krzywizna wynosi zero. Wraz ze wzrostem s promień maleje. Gdy s osiągnie L, otrzymujemy dokładnie promień R łuku kołowego, z którym łączy się klotoida.
Współrzędne X i Y końca klotoidy
W lokalnym układzie współrzędnych, którego oś X pokrywa się z prostą wejściową, współrzędne można wyrazić przez całki:
Kalkulator wyznacza te wartości numerycznie. Dzięki temu nie ogranicza się do skróconych rozwinięć szeregowych i może pokazać lokalne współrzędne końca klotoidy również dla większego kąta zwrotu.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Jeżeli pracujesz z dokumentacją drogową, najpierw ustal, czy podane L oznacza długość jednej krzywej przejściowej, czy sumę dwóch krzywych po obu stronach łuku kołowego. Do wzoru A² = R·L podstawia się długość jednej analizowanej klotoidy.
Przykładowe zadania z klotoidy
Treść: Krzywa przejściowa ma długość L = 90 m i łączy się z łukiem kołowym o promieniu R = 300 m. Oblicz parametr klotoidy A oraz kąt zwrotu na jej końcu.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wzór na parametr: A = √(R · L).
Podstawienie: A = √(300 · 90) = √27000 ≈ 164,317 m.
Kąt: τ = L / (2R) = 90 / 600 = 0,15 rad ≈ 8,594°.
Treść: Dla łuku o promieniu R = 500 m przyjęto parametr klotoidy A = 200 m. Oblicz długość krzywej przejściowej.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wzór: L = A² / R.
Podstawienie: L = 200² / 500 = 40000 / 500.
Obliczenie: L = 80 m.
Treść: Klotoida ma parametr A = 180 m. Jaki jest lokalny promień krzywizny w punkcie s = 60 m od jej początku?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wzór: R(s) = A² / s.
Podstawienie: R(60) = 180² / 60 = 32400 / 60.
Obliczenie: R(60) = 540 m.
Treść: Początek klotoidy znajduje się w pikietażu 12+350,00, a jej długość wynosi 75 m. Wyznacz pikietaż końca krzywej przejściowej.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Zamiana: 12+350,00 = 12 350,00 m.
Dodanie długości: 12 350,00 + 75,00 = 12 425,00 m.
Zapis drogowy: 12 425,00 m = 12+425,00.
Dla ucznia technikum drogowego, geodezyjnego i studenta
W zadaniach z klotoidy najłatwiej pomylić długość krzywej z promieniem albo użyć kąta w stopniach tam, gdzie wzór wymaga radianów. Warto zapamiętać trzy zależności bazowe: A² = R·L, R(s) = A²/s oraz τ(s) = s²/(2A²).
- A, R, L i s zapisuj w tej samej jednostce – najwygodniej w metrach,
- kąt τ otrzymany z wzoru jest w radianach; dopiero potem przelicz go na stopnie,
- w początku klotoidy s = 0, dlatego lokalny promień jest nieskończony,
- na końcu s = L i wtedy R(s) musi być równy promieniowi łuku kołowego,
- w obliczeniach pikietażowych długość klotoidy dodaje się wzdłuż osi trasy.
Najczęstsze błędy przy obliczaniu klotoidy
- Użycie sumy dwóch klotoid jako L – wzór A² = R·L dotyczy analizowanej pojedynczej klotoidy.
- Pomieszanie promienia łuku z promieniem lokalnym – R na końcu to promień łuku kołowego, natomiast R(s) zmienia się wzdłuż krzywej.
- Stopnie zamiast radianów – zależność τ = L/(2R) daje wynik w radianach.
- Traktowanie zakresu 3°–30° jako jedynego kryterium – WR-D-22-2 zawiera również inne warunki krzywej przejściowej.
- Pomijanie przechyłki – długość klotoidy jest częścią szerszego rozwiązania geometrycznego i musi współgrać m.in. z rampą przechyłkową.
Powiązane kalkulatory drogowe
Powiązane kalkulatory Drogownictwa
Źródła i założenia kalkulatora
WR-D-22-2 opisuje stosowanie krzywych przejściowych w geometrii dróg i wskazuje m.in. kontrolę kąta zwrotu na długości krzywej. Dokument zaznacza również, że parametr A klotoidy lub jej długość L mogą być określane przy użyciu narzędzi wspomagających projektowanie.
Podstawowa własność klotoidy A² = R·L oraz liniowa zmiana krzywizny wynikają z definicji spirali Eulera. Kalkulator korzysta z tej zależności oraz numerycznie całkuje równania współrzędnych X i Y w lokalnym układzie odniesienia.
WR-D-22-2 – Kształtowanie geometryczne
FAQ – klotoida i krzywa przejściowa
Ostatnia aktualizacja: 25.08.2026