Dalsze kroki w Drogownictwie
Po obliczeniu wyniku możesz od razu sprawdzić wyjaśnienie, wartości pomocnicze i kolejne obliczenie z tego samego etapu pracy.
Kalkulator łuku kołowego drogi służy do szybkiego wyznaczenia podstawowych elementów geometrii trasy w planie. Po podaniu promienia R i kąta zwrotu Δ otrzymujesz długość łuku, długość stycznej, cięciwę, strzałkę oraz odległość zewnętrzną.
Jeżeli pracujesz na pikietażach, narzędzie wyznacza także PŁ i KŁ. Dla dalszych obliczeń wysokościowych możesz przejść do kalkulatora rzędnej niwelety, a dla położenia punktu względem osi do kalkulatora pikietażu i domiaru.
Podstawowe wzory na prosty łuk kołowy
Kąt Δ w kalkulatorze jest kątem zwrotu trasy, równym kątowi środkowemu prostego łuku kołowego. Do wzoru na długość łuku trzeba zamienić stopnie na radiany.
- R – promień łuku [m],
- Δ – kąt zwrotu trasy [°],
- L – długość łuku [m],
- T – długość stycznej od W do PŁ lub KŁ [m],
- C – długość cięciwy PŁ–KŁ [m],
- M – strzałka środkowa pomiędzy cięciwą a łukiem [m],
- E – odległość zewnętrzna od łuku do wierzchołka W po dwusiecznej [m].
Ciekawostka
Dwa różne łuki mogą mieć dokładnie tę samą długość. Na przykład R = 250 m i Δ = 40° oraz R = 400 m i Δ = 25° dają L ≈ 174,533 m. Większy promień może więc zostać „zrównoważony” mniejszym kątem zwrotu.
Pikietaż początku i końca łuku
Jeżeli znasz pikietaż początku łuku PŁ, obliczenie końca jest bezpośrednie:
Jeżeli znasz pomocniczy pikietaż wierzchołka W, najpierw odejmij długość stycznej T, aby uzyskać początek łuku, a następnie dodaj długość łuku L:
Uwaga: W jest punktem przecięcia stycznych i nie leży na projektowanej osi łuku kołowego. Dlatego kilometraż W ma znaczenie pomocnicze w obliczeniach geometrycznych i nie należy utożsamiać odcinka PŁ–W z długością po łuku.
Co oznaczają elementy łuku kołowego?
| Symbol | Element | Jak go interpretować? |
|---|---|---|
| R | Promień | Odległość od środka okręgu do osi łuku. |
| Δ | Kąt zwrotu | Zmiana kierunku pomiędzy styczną wejściową i wyjściową. |
| T | Styczna | Odległość od wierzchołka W do punktu PŁ albo KŁ mierzona po stycznej. |
| C | Cięciwa | Prosta łącząca początek i koniec łuku. |
| M | Strzałka | Największa odległość między cięciwą PŁ–KŁ a łukiem, mierzona w środku cięciwy. |
| E | Odległość zewnętrzna | Odległość od środka łuku do W wzdłuż dwusiecznej, pomniejszona o promień. |
Wskazówka od KalkulatorXXL
Po otrzymaniu wyniku najpierw sprawdź relację L > C oraz to, czy KŁ ma większy pikietaż niż PŁ. Jeśli liczysz z pikietażu W, pamiętaj, że T jest długością po stycznej, a L po łuku — tych odcinków nie wolno zamieniać.
Przykładowe zadania – łuk kołowy drogi
Treść: Łuk ma promień R = 300 m i kąt zwrotu Δ = 30°. Oblicz długość łuku L i styczną T.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
L = π · 300 · 30 / 180 = 157,080 m
T = 300 · tan(15°) = 80,385 m
Treść: PŁ znajduje się w km 10+000. Dla R = 500 m i Δ = 60° wyznacz KŁ.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
L = π · 500 · 60 / 180 = 523,599 m
KŁ = 10 000 + 523,599 = 10 523,599 m.
Treść: Wierzchołek przecięcia stycznych ma pikietaż pomocniczy 5+000. R = 250 m, Δ = 40°. Oblicz PŁ i KŁ.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
T = 250 · tan(20°) = 90,993 m.
PŁ = 5000 − 90,993 = 4909,007 m → 4+909,01.
L = π · 250 · 40 / 180 = 174,533 m.
KŁ = 4909,007 + 174,533 = 5083,540 m.
Treść: Dla łuku R = 400 m i Δ = 25° oblicz cięciwę C i strzałkę M.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
C = 2 · 400 · sin(12,5°) = 173,152 m.
M = 400 · [1 − cos(12,5°)] = 9,482 m.
Dla ucznia technikum drogowego, geodezyjnego i studenta budownictwa
W zadaniach z łukiem kołowym najpierw rozpoznaj, czy podany kąt jest kątem zwrotu całej trasy, a nie jego połową. We wzorach na T, C, M i E występuje Δ/2, natomiast w długości łuku L występuje pełny kąt Δ.
- zamień stopnie na radiany tylko tam, gdzie używasz zależności L = R·Δ w radianach,
- sprawdź, czy kalkulator w telefonie pracuje w stopniach przy funkcjach sin, cos i tan,
- dla poprawnego łuku L powinno być większe od cięciwy C,
- im większy R przy tym samym Δ, tym proporcjonalnie większe są L, T, C, M i E,
- nie myl prostego łuku kołowego z układem prosta–klotoida–łuk–klotoida–prosta.
Najczęstsze błędy przy obliczaniu łuku kołowego
- Podstawienie stopni bez przeliczenia do wzoru L = R·Δ – w tej postaci Δ musi być w radianach.
- Użycie pełnego Δ we wzorze na styczną – poprawnie T = R·tan(Δ/2).
- Dodanie T zamiast L do pikietażu PŁ – KŁ wyznacza długość osi po łuku, więc dodajesz L.
- Traktowanie W jak punktu na łuku – W jest przecięciem stycznych.
- Dobieranie promienia wyłącznie z tego kalkulatora – promień projektowy zależy również od prędkości, pochylenia poprzecznego i wymagań geometrycznych.
Powiązane kalkulatory drogowe
Powiązane kalkulatory Drogownictwa
Źródła i założenia kalkulatora
Wzory użyte w kalkulatorze są zależnościami geometrycznymi dla pojedynczego łuku kołowego. Kalkulator nie zastępuje projektowania geometrycznego drogi ani doboru promienia. Przepisy techniczno-budowlane wymagają, aby łuk kołowy w planie zapewniał bezpieczeństwo ruchu dla prędkości do projektowania, w szczególności przez wzajemne dostosowanie promienia i pochylenia poprzecznego.
WR-D-22-2 – Wytyczne projektowania odcinków dróg zamiejskich, część 2: Kształtowanie geometryczne
FAQ - łuku kołowego drogi – promień, długość i pikietaż
Ostatnia aktualizacja: 25.08.2026