Dlaczego zadania tekstowe są trudniejsze od samych obliczeń?
W zadaniach tekstowych najtrudniejsze często nie jest samo liczenie, lecz rozpoznanie, czego dotyczy treść. Ten sam wynik można czasem policzyć przez ułamek, procent albo proporcję. Dlatego najpierw trzeba ustalić, co jest całością, co jest częścią, co jest wartością początkową, a co jest wartością szukaną.
Ten poradnik pomaga w zadaniach typu: „ile to część całości”, „jaki procent stanowi liczba”, „cena po rabacie”, „podwyżka procentowa”, „przepis na więcej porcji”, „skala mapy”, „reguła trzech” oraz „podział w stosunku”. Do kontroli wyników przydadzą się kalkulator działań na ułamkach, kalkulator procentów, kalkulator reguły trzech i kalkulator proporcji i skali.
Jak czytać zadanie tekstowe?
Dobre rozwiązanie zaczyna się od uporządkowania danych. Warto podkreślić liczby, dopisać jednostki i zapisać pytanie własnymi słowami. Jeżeli w treści występują ułamki, procenty albo stosunek, trzeba od razu ustalić, do jakiej całości się odnoszą.
| Krok | Co zrobić? | Przykład pytania pomocniczego |
|---|---|---|
| 1 | Wypisz dane z jednostkami | ile kg, zł, osób, km, punktów? |
| 2 | Ustal, czego szukasz | liczby, procentu, ceny po zmianie, skali? |
| 3 | Rozpoznaj typ zadania | ułamek, procent, proporcja, skala? |
| 4 | Zapisz działanie lub proporcję | czy znam trzy wartości i szukam czwartej? |
| 5 | Sprawdź sens wyniku | czy wynik nie jest większy/mniejszy wbrew treści? |
Słowa-klucze w zadaniach
Niektóre słowa w treści zadania sugerują konkretny typ obliczeń. Nie należy jednak działać automatycznie. Słowo „procent” nie zawsze oznacza tylko procent z liczby — czasem chodzi o zmianę procentową, punkty procentowe albo porównanie części do całości.
| Fraza w treści | Najczęstszy temat | Typowe działanie |
|---|---|---|
| „część całości”, „zjedzono 2/5” | ułamki | ułamek · całość |
| „20% z liczby” | procent z liczby | 0,20 · liczba |
| „po rabacie”, „obniżono o...” | obniżka procentowa | cena · (1 - p/100) |
| „podwyższono o...” | podwyżka procentowa | cena · (1 + p/100) |
| „w stosunku 2:3” | podział na części | suma części → jedna część |
| „3 kg kosztują..., ile 5 kg?” | proporcja prosta | reguła trzech |
| „więcej pracowników, krótszy czas” | proporcja odwrotna | osoby · czas = stała |
| „mapa 1:100 000” | skala | odległość z mapy · mianownik skali |
Zadania o części całości
Jeżeli treść mówi, że ktoś wykorzystał część całości, zjadł część zapasu albo przeszedł część trasy, najczęściej mnożymy całość przez ułamek. Najpierw ustalamy, co jest całością, a potem jaką część tej całości bierzemy.
Przykład 1
W pudełku było 60 cukierków. Zjedzono 2/5 pudełka. Ile cukierków zjedzono?
2/5 · 60 = 24. Zjedzono 24 cukierki.
Przykład 2
Trasa ma 36 km. Rowerzysta przejechał 3/4 trasy. Ile km przejechał?
3/4 · 36 = 27. Przejechał 27 km.
Jeżeli trzeba wykonać więcej działań, sprawdź poradnik dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków.
Zadania o pozostałej części
W wielu zadaniach nie pytają o część wykorzystaną, ale o to, ile zostało. Wtedy można najpierw policzyć wykorzystaną część i odjąć ją od całości albo policzyć od razu część pozostałą.
Przykład
W zbiorniku było 80 litrów wody. Zużyto 3/8 wody. Ile litrów zostało?
Zużyto 3/8 · 80 = 30 litrów. Zostało 80 - 30 = 50 litrów. Można też policzyć, że zostało 5/8 zbiornika, czyli 5/8 · 80 = 50.
Zadania procentowe: procent z liczby
Jeżeli pytanie brzmi „ile wynosi p% z liczby”, zamieniamy procent na liczbę dziesiętną i mnożymy przez całość. To dokładnie ten sam schemat co przy ułamku części całości.
20% z 150
0,20 · 150 = 30
35% z 200
0,35 · 200 = 70
12% z 50
0,12 · 50 = 6
Więcej przykładów procentowych jest w poradniku procent z liczby, podwyżka, obniżka i zmiana procentowa. Jeśli chcesz przećwiczyć sam temat procentów, przejdź do 15 zadań z procentów online.
Zadania o rabacie i podwyżce
Przy rabacie pytanie może dotyczyć wartości rabatu albo ceny po rabacie. Przy podwyżce pytanie może dotyczyć kwoty podwyżki albo wartości po podwyżce. Warto to rozróżnić przed obliczeniami.
| Treść | Działanie | Wynik |
|---|---|---|
| Cena 200 zł, rabat 15% — ile wynosi rabat? | 0,15 · 200 | 30 zł |
| Cena 200 zł, rabat 15% — cena po rabacie | 200 · 0,85 | 170 zł |
| Cena 200 zł, podwyżka 15% — kwota podwyżki | 0,15 · 200 | 30 zł |
| Cena 200 zł, podwyżka 15% — cena po podwyżce | 200 · 1,15 | 230 zł |
Do kontroli użyj kalkulatora podwyżki i obniżki procentowej.
Zadania o wyniku testu i procentach
Jeżeli znamy liczbę zdobytych punktów i maksymalną liczbę punktów, wynik procentowy obliczamy jako część podzieloną przez całość i pomnożoną przez 100%.
18 z 24
18/24 · 100% = 75%
27 z 30
27/30 · 100% = 90%
14 z 20
14/20 · 100% = 70%
Zadania z reguły trzech
Reguła trzech jest przydatna, gdy znamy trzy wartości i szukamy czwartej. Najczęściej dotyczy cen, masy, liczby sztuk, przepisu, wydajności i skali.
Przykład
4 kg jabłek kosztują 28 zł. Ile kosztuje 9 kg?
1 kg kosztuje 28 : 4 = 7 zł. 9 kg kosztuje 9 · 7 = 63 zł.
Ten typ zadań możesz sprawdzić w kalkulatorze reguły trzech i proporcji oraz w poradniku proporcje, reguła trzech i skala.
Zadania o proporcji odwrotnej
Jeżeli więcej osób wykonuje tę samą pracę, czas zwykle maleje. To proporcja odwrotna. W takich zadaniach nie mnożymy tak jak w cenach, tylko pilnujemy stałej ilości pracy.
Przykład
3 pracowników wykonuje zadanie w 8 godzin. Ile czasu potrzeba 6 pracownikom?
3 · 8 = 24 osobogodziny. 24 : 6 = 4 godziny.
Zadania ze skalą mapy
Przy skali trzeba sprowadzić jednostki do wspólnego zapisu. Skala 1:100 000 oznacza, że 1 cm na mapie to 100 000 cm w terenie, czyli 1 km. Najczęstszy błąd to brak zamiany centymetrów na metry lub kilometry.
Mapa 1:100 000
5 cm na mapie to 5 km w terenie.
Plan 1:200
3 cm na planie to 600 cm, czyli 6 m.
Obliczenia skali sprawdzisz w kalkulatorze proporcji i skali.
Podział w stosunku, np. 2:3
Jeżeli coś dzielimy w stosunku 2:3, to łącznie mamy 5 części. Najpierw obliczamy jedną część, a potem mnożymy ją przez odpowiednie liczby ze stosunku.
Przykład
Kwotę 150 zł podzielono w stosunku 2:3. Ile otrzyma każda osoba?
2 + 3 = 5 części. Jedna część to 150 : 5 = 30 zł. Pierwsza osoba otrzyma 2 · 30 = 60 zł, druga 3 · 30 = 90 zł.
Zadania wieloetapowe
W trudniejszych zadaniach trzeba połączyć kilka tematów. Najpierw możesz policzyć część całości, potem procent, a na końcu porównać wynik. W takich przykładach szczególnie ważne jest podpisywanie jednostek i zachowanie kolejności działań.
Przykład wieloetapowy
W sklepie było 80 zeszytów. Sprzedano 3/8 zapasu, a potem 25% pozostałych zeszytów. Ile zeszytów zostało?
Sprzedano najpierw 3/8 · 80 = 30 zeszytów, zostało 50. Następnie sprzedano 25% z 50, czyli 12,5. Jeżeli zadanie dopuszcza połówki w modelu teoretycznym, zostaje 37,5. Jeżeli chodzi o rzeczywiste zeszyty, treść powinna mieć liczby całkowite albo wymagać zaokrąglenia. To pokazuje, że sens wyniku też trzeba sprawdzić.
Jak sprawdzić, czy wynik ma sens?
Po obliczeniach warto zrobić szybkie sprawdzenie. Jeżeli liczysz rabat, cena po rabacie powinna być mniejsza od ceny początkowej. Jeżeli liczysz podwyżkę, wynik powinien być większy. Jeżeli obliczasz część całości, wynik nie powinien przekraczać całości, chyba że ułamek lub procent jest większy niż 1 albo 100%.
| Typ zadania | Jak sprawdzić? | Przykład ostrzeżenia |
|---|---|---|
| rabat | wynik powinien być mniejszy | cena po rabacie większa niż początkowa |
| podwyżka | wynik powinien być większy | cena po podwyżce mniejsza niż początkowa |
| część całości | porównaj z całością | 2/5 z 60 nie może być większe niż 60 |
| proporcja odwrotna | więcej osób zwykle krótszy czas | więcej pracowników i dłuższy czas bez uzasadnienia |
| skala | sprawdź jednostki | kilometry zapisane jako centymetry |
Zadania z rozwiązaniem
Zadanie 1
W klasie jest 28 osób. 3/7 klasy to dziewczęta. Ile jest dziewcząt?
3/7 · 28 = 12 dziewcząt.
Zadanie 2
Cena 160 zł spadła o 15%. Ile wynosi cena po obniżce?
160 · 0,85 = 136 zł.
Zadanie 3
Na mapie w skali 1:50 000 odcinek ma 8 cm. Ile to kilometrów?
8 · 50 000 cm = 400 000 cm = 4 km.
Zadania do samodzielnej powtórki
| Zadanie | Odpowiedź | Temat |
|---|---|---|
| 2/5 z 90 | 36 | ułamek z liczby |
| 35% z 240 | 84 | procent z liczby |
| Cena 300 zł po rabacie 20% | 240 zł | obniżka |
| Cena 300 zł po podwyżce 20% | 360 zł | podwyżka |
| 6 kg kosztuje 42 zł. Ile kosztuje 10 kg? | 70 zł | reguła trzech |
| 4 osoby pracują 9 h. Ile czasu pracuje 6 osób? | 6 h | proporcja odwrotna |
| Skala 1:200 000, 3 cm na mapie | 6 km | skala |
| Podziel 180 w stosunku 4:5 | 80 i 100 | stosunek |
Najczęstsze błędy
- Brak ustalenia, co jest całością w zadaniu z ułamkiem lub procentem.
- Mylenie wartości rabatu z ceną po rabacie.
- Stosowanie proporcji prostej w zadaniu o czasie pracy, które wymaga proporcji odwrotnej.
- Brak zamiany jednostek przy skali mapy.
- Liczenie procentu od złej wartości początkowej.
- Pomijanie jednostek, przez co wynik ma złą interpretację.
- Próba rozwiązania całego zadania w pamięci bez zapisania etapów.
Ciekawostka: to samo zadanie można zapisać różnie
Jeżeli ktoś zjadł 25% pizzy, można zapisać to jako 25%, 0,25 albo 1/4. W zadaniach tekstowych najważniejsze jest wybranie zapisu, który najbardziej upraszcza obliczenia, a nie trzymanie się pierwszej formy z treści.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy każdym zadaniu tekstowym napisz jedno zdanie: „Szukam...”. Potem wypisz dane z jednostkami i dopiero wtedy wybierz działanie. Ten prosty krok często od razu pokazuje, czy chodzi o ułamek z liczby, procent z liczby, rabat, proporcję czy skalę.