Po co uczyć się proporcji?
Proporcje pojawiają się w zadaniach o cenie, czasie, prędkości, mapie, skali, przepisach, mieszankach, procentach i porównywaniu wielkości. Jeżeli dwie wielkości zmieniają się w tym samym stosunku, można je obliczać za pomocą proporcji albo reguły trzech.
Ten poradnik odpowiada na pytania: „jak liczyć proporcje”, „jak działa reguła trzech”, „jak obliczyć x z proporcji”, „jak obliczyć skalę mapy”, „jak przeliczyć wymiary w skali” oraz „kiedy proporcja jest prosta, a kiedy odwrotna”. Do szybkiego liczenia użyj kalkulatora reguły trzech oraz kalkulatora proporcji i skali. Przy procentach pomocny będzie też kalkulator procentów.
Co to jest stosunek i proporcja?
Stosunek porównuje dwie wielkości przez dzielenie. Jeżeli w klasie jest 12 dziewcząt i 8 chłopców, stosunek dziewcząt do chłopców wynosi 12:8, czyli po skróceniu 3:2. Proporcja to równość dwóch stosunków, na przykład 3/4 = 6/8.
Stosunek
Pokazuje relację między dwiema liczbami, np. 2:5 oznacza „2 do 5”.
Proporcja
Pokazuje, że dwa stosunki są równe, np. 2:5 = 4:10.
Własność proporcji
Najważniejsza własność proporcji mówi, że w proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. To pozwala obliczyć brakującą wartość x.
Przykład
Rozwiąż proporcję 3/5 = x/20.
3 · 20 = 5 · x, więc 60 = 5x. Po podzieleniu przez 5 otrzymujemy x = 12.
Reguła trzech – najprostszy schemat
Reguła trzech pomaga obliczyć czwartą wartość, gdy znamy trzy powiązane liczby. W proporcji prostej im więcej jednej wielkości, tym więcej drugiej. Przykład: jeśli 3 kg jabłek kosztują 18 zł, to 5 kg będzie kosztować więcej.
Przykład z ceną
3 kg jabłek kosztują 18 zł. Ile kosztuje 5 kg?
1 kg kosztuje 18 : 3 = 6 zł, więc 5 kg kosztuje 5 · 6 = 30 zł.
Ten przykład można też wpisać w kalkulator reguły trzech i proporcji.
Proporcja prosta i proporcja odwrotna
Najważniejsze jest rozpoznanie, czy wielkości rosną razem, czy jedna rośnie, gdy druga maleje. Od tego zależy sposób obliczenia.
| Typ proporcji | Co się dzieje? | Przykład | Wniosek |
|---|---|---|---|
| Prosta | więcej jednej wielkości oznacza więcej drugiej | więcej kg jabłek → większy koszt | mnożymy przez ten sam współczynnik |
| Odwrotna | więcej jednej wielkości oznacza mniej drugiej | więcej pracowników → krótszy czas pracy | iloczyn wielkości pozostaje stały |
Prosta
4 zeszyty kosztują 12 zł, więc 8 zeszytów kosztuje 24 zł.
Odwrotna
2 pracowników wykonuje pracę w 6 godzin, więc 4 pracowników wykona ją w 3 godziny.
Proporcja prosta – zadania z ceną, masą i ilością
W proporcji prostej można liczyć przez wartość jednostkową albo przez proporcję. W szkole najczęściej wystarczy metoda „najpierw 1 jednostka, potem szukana liczba jednostek”.
Cena
4 kg kosztują 28 zł. 1 kg kosztuje 7 zł, więc 9 kg kosztuje 63 zł.
Masa
5 paczek waży 12,5 kg. 1 paczka waży 2,5 kg, więc 8 paczek waży 20 kg.
Ilość
6 długopisów kosztuje 18 zł. 10 długopisów kosztuje 30 zł.
Proporcja odwrotna – zadania z czasem pracy
W proporcji odwrotnej iloczyn wielkości jest stały. Jeżeli 3 osoby wykonują pracę w 8 godzin, to łącznie potrzeba 24 osobogodzin. Gdy pracuje 6 osób, czas wynosi 24 : 6 = 4 godziny.
Przykład
4 pracowników wykonuje zadanie w 9 godzin. Ile czasu potrzebuje 6 pracowników?
4 · 9 = 36 osobogodzin. 36 : 6 = 6 godzin.
Skala mapy i planu
Skala mówi, ile razy rzeczywistość została zmniejszona lub powiększona. Skala 1:100 000 oznacza, że 1 cm na mapie odpowiada 100 000 cm w terenie, czyli 1 km. Przy skali trzeba zawsze pilnować jednostek.
Mapa 1:100 000
4 cm na mapie to 4 · 100 000 cm = 400 000 cm = 4 km.
Plan 1:50
6 cm na planie to 6 · 50 cm = 300 cm = 3 m.
Takie obliczenia sprawdzisz w kalkulatorze proporcji i skali.
Jak obliczyć skalę?
Jeżeli znasz wymiar na rysunku i wymiar rzeczywisty, możesz obliczyć skalę. Najpierw sprowadź obie wartości do tej samej jednostki, a potem porównaj je w postaci stosunku.
Przykład
Na planie odcinek ma 5 cm, a w rzeczywistości ma 10 m. Zamieniamy 10 m na 1000 cm. Skala to 5:1000, czyli po skróceniu 1:200.
Przepisy, mieszanki i proporcje składników
Proporcje często pojawiają się w zadaniach o przepisach, zaprawach, mieszankach i rozcieńczaniu. Jeżeli składniki mają zachować ten sam smak, stężenie lub skład, wszystkie ilości trzeba pomnożyć przez ten sam współczynnik.
Przepis
Na 4 porcje potrzeba 300 g mąki. Na 10 porcji potrzeba 300 · 10/4 = 750 g.
Mieszanka
Stosunek składników 2:3 oznacza 2 części pierwszego i 3 części drugiego, razem 5 części.
Przy takich zadaniach warto najpierw zapisać stosunek części, a potem policzyć jedną część.
Proporcje i procenty
Procenty są szczególnym przypadkiem proporcji, bo odnoszą wartość do 100 części. Jeżeli 18 punktów z 24 to wynik testu, można ułożyć proporcję: 24 punkty to 100%, a 18 punktów to x%.
Przykład
24 · x = 18 · 100, więc x = 1800 : 24 = 75%.
Więcej zadań procentowych znajdziesz w kalkulatorze procenty, podwyżka i obniżka.
Kiedy proporcja może wprowadzić w błąd?
Nie każde zadanie, w którym pojawiają się dwie wielkości, jest proporcją prostą. Proporcja działa wtedy, gdy zależność jest liniowa i stała: dwa razy więcej towaru kosztuje dwa razy więcej, a trzy razy więcej porcji wymaga trzy razy więcej składników. Nie działa jednak automatycznie przy zadaniach, w których występuje opłata stała, próg, rabat, minimalny koszt, zaokrąglenie do pełnych opakowań albo zmienna wydajność. Przykład: jeśli kurier kosztuje 15 zł niezależnie od liczby produktów, to koszt 2 produktów nie musi być dwa razy większy niż koszt 1 produktu. Podobnie 6 pracowników nie zawsze wykona zadanie dokładnie dwa razy szybciej niż 3 pracowników, jeśli przeszkadza im ograniczona przestrzeń, narzędzia lub konieczność koordynacji. Przed użyciem proporcji warto więc zapytać, czy każda jednostka działa tak samo i czy nie ma dodatkowego stałego składnika.
Jak rozpoznać metodę w treści zadania?
| Fraza w zadaniu | Najczęstszy typ | Co zrobić? |
|---|---|---|
| „ile kosztuje 5 kg, jeśli 3 kg kosztują...” | proporcja prosta | policz cenę 1 kg albo ułóż proporcję |
| „ile czasu potrzeba, jeśli pracowników jest więcej” | proporcja odwrotna | użyj stałej liczba osób · czas |
| „na mapie 1:100 000” | skala | zamień jednostki i pomnóż przez mianownik skali |
| „w stosunku 2:3” | podział na części | zsumuj części i policz jedną część |
| „18 z 24 punktów” | procent jako proporcja | ułóż x/100 = 18/24 |
| „każde opakowanie ma 8 sztuk” | proporcja z zaokrągleniem | uważaj, czy wynik trzeba zaokrąglić do pełnych opakowań |
Zadania z rozwiązaniem
Zadanie 1
5 zeszytów kosztuje 20 zł. Ile kosztuje 8 zeszytów?
1 zeszyt kosztuje 4 zł, więc 8 zeszytów kosztuje 32 zł.
Zadanie 2
3 osoby pracują 10 godzin. Ile czasu pracuje 5 osób?
3 · 10 = 30 osobogodzin. 30 : 5 = 6 godzin.
Zadanie 3
Na mapie 1:50 000 odległość wynosi 6 cm. Ile to w terenie?
6 · 50 000 cm = 300 000 cm = 3 km.
Zadania do samodzielnej powtórki
| Zadanie | Odpowiedź | Temat |
|---|---|---|
| 4 kg kosztują 28 zł. Ile kosztuje 9 kg? | 63 zł | proporcja prosta |
| 2 pracowników pracuje 12 h. Ile czasu potrzebuje 6 pracowników? | 4 h | proporcja odwrotna |
| Skala 1:100 000, odległość 7 cm | 7 km | skala mapy |
| Na planie 4 cm, w rzeczywistości 8 m. Jaka skala? | 1:200 | obliczanie skali |
| Przepis na 4 porcje ma 250 g składnika. Ile na 6 porcji? | 375 g | proporcja prosta |
| 18 punktów z 30. Ile procent? | 60% | procent jako proporcja |
| Podział 2:3 z łącznej liczby 50 | 20 i 30 | stosunek części |
| 1 cm na modelu odpowiada 25 cm w rzeczywistości | skala 1:25 | skala modelu |
Najczęstsze błędy
- Stosowanie proporcji prostej w zadaniu, które jest proporcją odwrotną.
- Brak zamiany jednostek przy skali mapy lub planu.
- Mylenie skali 1:100 z powiększeniem 100 razy.
- Liczenie skali z wartościami w różnych jednostkach, np. cm i m bez zamiany.
- Nieustalenie, co oznacza jedna część w stosunku 2:3.
- Używanie proporcji tam, gdzie występuje koszt stały albo pełne opakowania.
- Odwrócenie ułamka w proporcji i otrzymanie wyniku kilka razy za dużego lub za małego.
Ciekawostka: skala to też proporcja
Skala mapy, modelu albo rysunku technicznego jest proporcją między wymiarem na rysunku a wymiarem rzeczywistym. Dlatego zadania ze skalą można rozwiązywać tak samo jak inne proporcje, pod warunkiem że wszystkie jednostki są zgodne.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przed ułożeniem proporcji napisz jednostki przy każdej liczbie. Jeżeli po jednej stronie masz kilogramy, po drugiej złote, zachowaj tę samą kolejność w całym zapisie. Przy skali zawsze najpierw zamień metry, kilometry i centymetry na jedną jednostkę.