Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty. Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty.
Przejdź do treści

Całkowanie numeryczne - kalkulator trapezów i Simpsona

Przybliż całkę oznaczoną metodą trapezów i metodą Simpsona. Wybierz funkcję, przedział i liczbę podprzedziałów, a kalkulator pokaże wynik, błąd i kroki obliczeń.

Dane do całkowania

Metody złożone dzielą przedział [a, b] na n równych części.
analiza numeryczna
Przedział całkowania
Metoda Simpsona wymaga parzystego n. Metoda trapezów działa dla każdego n ≥ 1.
Wielomian jest określony dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Wynik całkowania

Metoda trapezów Tₙ
-
Metoda Simpsona Sₙ
-
Wartość referencyjna (analityczny wzór)
-
Wprowadź dane, aby porównać obie metody.
Krok siatki
h = -
Błąd bezwzględny
-
Obliczenia krok po kroku

—

Kiedy stosować całkowanie numeryczne?

Całkowanie numeryczne przybliża wartość całki oznaczonej, gdy funkcję znasz tylko w punktach albo gdy ręczne znalezienie funkcji pierwotnej jest niewygodne. W tym kalkulatorze możesz porównać dwie klasyczne metody: trapezów i Simpsona.

Jeżeli chcesz najpierw policzyć całkę dokładnie metodami analitycznymi, użyj kalkulatora całki oznaczonej. Wzory podstawowych całek znajdziesz też w tablicy całek.

Metoda trapezów

Przedział dzielimy na n części o szerokości h=(b-a)/n. W każdym podprzedziale wykres zastępujemy odcinkiem, a pole pod nim - polem trapezu.

Tₙ = h · [½f(x₀) + f(x₁) + ... + f(xₙ₋₁) + ½f(xₙ)]

Metoda działa dla dowolnej dodatniej liczby podprzedziałów n.

Metoda Simpsona

Metoda Simpsona zastępuje fragmenty wykresu parabolami. Dla złożonego wzoru liczba podprzedziałów musi być parzysta.

Sₙ = h/3 · [f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + ... + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

Dla wielomianów stopnia nie większego niż 3 metoda Simpsona daje wynik dokładny z dokładnością arytmetyki zmiennoprzecinkowej.

Jak liczba podprzedziałów wpływa na wynik?

Większe n oznacza mniejszy krok h i zwykle lepsze przybliżenie, ale wymaga większej liczby obliczeń funkcji. Dla funkcji gładkich metoda Simpsona zazwyczaj zbiega szybciej niż metoda trapezów.

Kalkulator pokazuje także wartość referencyjną ze wzoru analitycznego dla wszystkich dostępnych funkcji, dlatego możesz od razu porównać błąd obu metod.

Wskazówka od KalkulatorXXL

Jeśli wynik ma być użyty w zadaniu numerycznym, policz całkę dla n, a potem dla 2n. Gdy wyniki przestają się istotnie zmieniać, masz praktyczną kontrolę zbieżności. Dla Simpsona pamiętaj, że n musi pozostać parzyste.

Najczęstsze błędy

  • Użycie nieparzystego n w złożonej metodzie Simpsona.
  • Pomylenie liczby podprzedziałów z liczbą punktów - dla n podprzedziałów są n+1 węzłów.
  • Pomijanie współczynników 4 i 2 w sumie Simpsona.
  • Całkowanie przez punkt, w którym funkcja nie jest określona, np. przez x=0 dla 1/x.
  • Traktowanie całki oznaczonej jako pola geometrycznego, mimo że funkcja może przyjmować wartości ujemne.

Powiązane materiały

Całka oznaczona
Policz wartość całki analitycznie i porównaj ją z metodami numerycznymi.
Całka nieoznaczona
Przypomnij sobie funkcję pierwotną i podstawowe wzory całkowania.
Tablica całek
Sprawdź wzory, oznaczenia i przykłady całek oznaczonych i nieoznaczonych.
Jak liczyć całki?
Przejdź przez metody analityczne i interpretację wyniku krok po kroku.
Szereg Taylora i Maclaurina
Porównaj inną metodę przybliżania funkcji i błędu numerycznego.
Funkcje i analiza
Połącz granice, pochodne, całki i metody numeryczne w jedną ścieżkę.

FAQ - całkowanie numeryczne metodą trapezów i Simpsona

Przybliża całkę oznaczoną, dzieląc przedział na podprzedziały i zastępując wykres na każdym z nich odcinkiem. Powstaje suma pól trapezów z uwzględnieniem znaku funkcji.

Złożony wzór Simpsona pracuje parami sąsiednich podprzedziałów. Dlatego liczba podprzedziałów musi być parzysta.

Dla dostatecznie gładkich funkcji metoda Simpsona zwykle osiąga większą dokładność przy tej samej liczbie podprzedziałów, ale zależy to od funkcji i przedziału.

Nie. Całka oznaczona jest wielkością ze znakiem. Fragmenty wykresu poniżej osi x wnoszą wkład ujemny. Pole geometryczne wymaga osobnego uwzględnienia wartości bezwzględnej i miejsc zerowych.

To szerokość jednego podprzedziału: h=(b-a)/n. Przy odwróconych granicach całkowania h jest ujemne, a wynik całki zmienia znak.

Nie. Funkcja 1/x nie jest określona w x=0, więc zwykła całka właściwa na przedziale zawierającym zero nie istnieje. Kalkulator taki przedział odrzuca.

Praktycznie można porównać wynik dla n i 2n podprzedziałów. Jeżeli kolejne wyniki niewiele się różnią, przybliżenie stabilizuje się.

Tak. Złożona metoda Simpsona całkuje dokładnie wielomiany stopnia do 3 włącznie, z dokładnością ograniczoną jedynie arytmetyką komputera.

Aktualizacja: 21.09.2026

Popularne w tej kategorii

Trapez - kalkulator pola, obwodu i wysokosciPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator działań na liczbach całkowitychPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator liczb rzymskich
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator wspólnego mianownika ułamków
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.