Policz dalej
Koło a okrąg – jaka jest różnica?
Koło to cała wypełniona figura, dlatego obliczamy jego pole. Okrąg to linia brzegowa koła, dlatego obliczamy jego długość. W zadaniach szkolnych ta różnica decyduje również o jednostkach wyniku.
Wynik ma jednostkę kwadratową, np. cm² lub m².
Wynik ma jednostkę długości, np. cm lub m.
Oznaczenia we wzorach
| Symbol | Znaczenie | Przykład użycia |
|---|---|---|
| r | promień | P = πr² |
| d | średnica | d = 2r |
| π | liczba pi, około 3,14159 | O = 2πr |
| P | pole | pole koła, wycinka lub pierścienia |
| O | długość okręgu | obwód koła |
| L | długość łuku | L = 2πr · α/360° |
| α | kąt środkowy | łuk i wycinek |
| R | większy promień pierścienia | P = π(R² − r²) |
Promień, średnica, pole i obwód
Jeżeli zadanie podaje średnicę, a wzór wymaga promienia, najpierw podziel średnicę przez 2. Jeżeli znasz promień, średnica jest od niego dwa razy większa.
Przykład: r = 6 cm → d = 12 cm.
Dla r = 7 cm obwód wynosi 14π cm ≈ 43,98 cm.
| Promień r | Średnica d | Pole koła | Długość okręgu |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | π ≈ 3,14 | 2π ≈ 6,28 |
| 2 | 4 | 4π ≈ 12,57 | 4π ≈ 12,57 |
| 3 | 6 | 9π ≈ 28,27 | 6π ≈ 18,85 |
| 5 | 10 | 25π ≈ 78,54 | 10π ≈ 31,42 |
| 10 | 20 | 100π ≈ 314,16 | 20π ≈ 62,83 |
Długość łuku i pole wycinka koła
Łuk i wycinek są częścią całego okręgu lub koła. Przy kącie podanym w stopniach używamy udziału α/360°.
Dla α = 90° łuk ma 1/4 długości całego okręgu.
Dla r = 6 cm i α = 120° pole wynosi 12π cm².
Do dowolnego promienia i kąta użyj kalkulatora długości łuku i wycinka koła.
Pierścień kołowy, cięciwa, styczna i sieczna
Dla R = 8 cm i r = 5 cm otrzymujemy 39π cm².
Odcinek łączący dwa punkty okręgu. Średnica jest najdłuższą cięciwą i przechodzi przez środek.
Prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. Jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.
Prosta przecinająca okrąg w dwóch punktach.
Kąt środkowy, kąt wpisany i radiany
Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma miarę równą połowie kąta środkowego. Kąt wpisany oparty na średnicy ma 90°.
| Wielkość | W stopniach | W radianach |
|---|---|---|
| Długość łuku | L = 2πr · α/360° | L = rα |
| Pole wycinka | P = πr² · α/360° | P = r²α/2 |
| Pełny obrót | 360° | 2π |
| Pół obrotu | 180° | π |
| Ćwierć obrotu | 90° | π/2 |
Przeliczenia wykonasz w kalkulatorze stopni na radiany.
Jak dobrać wzór do treści zadania?
| W treści widzisz... | Szukasz... | Wzór lub pierwszy krok |
|---|---|---|
| promień i pytanie o powierzchnię | pole koła | P = πr² |
| średnicę i pytanie o powierzchnię | pole koła | najpierw r = d/2 |
| promień i pytanie o obwód | długość okręgu | O = 2πr |
| średnicę i pytanie o obwód | długość okręgu | O = πd |
| kąt środkowy i łuk | długość łuku | L = 2πr · α/360° |
| kąt środkowy i powierzchnię części koła | pole wycinka | P = πr² · α/360° |
| dwa promienie: większy i mniejszy | pole pierścienia | P = π(R² − r²) |
| kąt wpisany i środkowy | kąty w okręgu | kąt wpisany = 1/2 kąta środkowego |
Koło w zadaniach praktycznych
W praktyce słowa „powierzchnia”, „ile materiału na wypełnienie” albo „ile farby” zwykle kierują do pola koła. Zwroty „ile taśmy dookoła”, „obrzeże”, „brzeg” lub „opaska” zwykle oznaczają długość okręgu.
Okrągły dywan o promieniu 1,2 m: P = π · 1,2² = 1,44π m².
Obrzeże rabaty o promieniu 2 m: O = 2π · 2 = 4π m.
Jeżeli zadanie wykorzystuje plan lub skalę, użyj kalkulatora proporcji i skali.
Jednostki i przybliżenia
P = 25π cm² ≈ 78,54 cm². Jednostka jest kwadratowa.
O = 10π cm ≈ 31,42 cm. Jednostka nie jest podnoszona do kwadratu.
Jeśli α = 90°, wycinek stanowi 1/4 pola całego koła.
Zadania kontrolne
| Zadanie | Odpowiedź | Temat |
|---|---|---|
| Koło ma promień 4 cm. Oblicz pole. | 16π cm² | pole koła |
| Okrąg ma promień 6 cm. Oblicz długość. | 12π cm | długość okręgu |
| Koło ma średnicę 10 cm. Oblicz pole. | 25π cm² | średnica i pole |
| Okrąg ma średnicę 14 cm. Oblicz długość. | 14π cm | średnica i obwód |
| Promień 9 cm, kąt 120°. Pole wycinka? | 27π cm² | wycinek |
| Promień 3 cm, kąt 60°. Długość łuku? | π cm | łuk |
| R = 7 cm, r = 2 cm. Pole pierścienia? | 45π cm² | pierścień |
| Kąt środkowy 140°. Kąt wpisany na tym samym łuku? | 70° | kąt wpisany |
Najczęstsze błędy
- Podstawienie średnicy zamiast promienia do wzoru P = πr².
- Mylenie pola koła z długością okręgu.
- Podanie pola w cm zamiast cm² albo długości okręgu w cm².
- Pomijanie kwadratu przy promieniu w polu koła.
- Liczenie całego koła mimo podanego kąta wycinka mniejszego niż 360°.
- Mylenie łuku z cięciwą.
- Odjęcie promieni zamiast kwadratów promieni przy polu pierścienia.
Ciekawostka: dwa razy większy promień to cztery razy większe pole
Pole koła zależy od kwadratu promienia. Jeśli promień rośnie z 3 cm do 6 cm, długość okręgu rośnie 2 razy, ale pole rośnie 4 razy.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przed podstawieniem do wzoru sprawdź, czy podano promień, średnicę, kąt czy długość łuku. Najwięcej błędów wynika z użycia właściwego wzoru z niewłaściwą wielkością wejściową.
Pełna ścieżka geometrii
Więcej tablic, poradników i kalkulatorów znajdziesz w akademii geometrii: figury, bryły, trygonometria i zadania.
FAQ – koło, okrąg, łuk i wycinek
Ostatnia aktualizacja: 27.09.2026