Od czego zacząć funkcję liniową?
Funkcja liniowa ma postać f(x)=ax+b. Jej wykresem jest prosta. Współczynnik a mówi, czy prosta rośnie, maleje lub jest pozioma, a współczynnik b pokazuje przecięcie z osią Y. Ten poradnik jest dla zadań typu „jak obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej”, „jak narysować wykres y=ax+b”, „jak wyznaczyć wzór funkcji z dwóch punktów”, „co oznacza współczynnik kierunkowy” albo „kiedy funkcja liniowa jest rosnąca”.
Do szybkiej powtórki możesz otworzyć tablicę funkcji liniowej, a do sprawdzenia wyniku kalkulator funkcji liniowej i miejsca zerowego. Jeśli dopiero zaczynasz cały dział, przyda się również tablica funkcje: dziedzina, zbiór wartości i wykresy.
Wzór funkcji liniowej i znaczenie współczynników
Wzór f(x)=ax+b warto czytać od razu w dwóch częściach. Liczba a odpowiada za nachylenie prostej, a liczba b za punkt przecięcia z osią Y. Jeżeli znasz a i b, możesz szybko przewidzieć kształt wykresu.
Współczynnik a
a < 0 — funkcja maleje
a = 0 — funkcja stała
To nachylenie prostej i tempo zmiany wartości funkcji.
Współczynnik b
Dla f(x)=2x-5 wykres przecina oś Y w punkcie (0,-5).
Jak obliczyć wartość funkcji liniowej?
Wartość funkcji dla danego argumentu obliczasz przez podstawienie liczby za x. To najprostszy typ zadania, ale jest bardzo ważny, bo na nim opiera się rysowanie wykresu i tworzenie tabeli wartości.
Przykład
Dana jest funkcja f(x)=3x-4. Oblicz f(5).
Podstawiamy x=5: f(5)=3·5-4=15-4=11.
| x | Obliczenie | f(x) | Punkt wykresu |
|---|---|---|---|
| 0 | 3·0-4 | -4 | (0,-4) |
| 1 | 3·1-4 | -1 | (1,-1) |
| 5 | 3·5-4 | 11 | (5,11) |
Jak obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej?
Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja ma wartość 0. W funkcji liniowej rozwiązujesz równanie ax+b=0. Jeżeli a≠0, możesz użyć wzoru x0=-b/a.
Metoda z równania
Dla f(x)=2x-8 zapisujesz 2x-8=0, więc 2x=8 i x=4.
Metoda ze wzoru
Dla f(x)=2x-8 mamy a=2, b=-8. x0=-(-8)/2=4.
Na wykresie miejsce zerowe to punkt przecięcia z osią X. W tym przykładzie jest to punkt (4,0), ale samo miejsce zerowe zapisujemy jako x=4.
Jak narysować wykres funkcji liniowej?
Wykres funkcji liniowej jest prostą, więc do narysowania wystarczą dwa punkty. Najwygodniej wybrać x=0 oraz miejsce zerowe, jeśli łatwo je policzyć. Możesz też zrobić krótką tabelę wartości.
| Krok | Co zrobić? | Przykład dla f(x)=2x-4 |
|---|---|---|
| 1 | oblicz punkt na osi Y | f(0)=-4, punkt (0,-4) |
| 2 | oblicz miejsce zerowe | 2x-4=0, więc x=2, punkt (2,0) |
| 3 | zaznacz dwa punkty | (0,-4) i (2,0) |
| 4 | połącz punkty prostą | otrzymujesz wykres funkcji |
| 5 | sprawdź kierunek | a=2>0, więc prosta rośnie |
Jeżeli zadanie wymaga odczytywania z wykresu, wróć do poradnika jak odczytywać wykres funkcji.
Monotoniczność funkcji liniowej
Monotoniczność funkcji liniowej zależy tylko od współczynnika a. Nie trzeba rysować całej prostej, żeby odpowiedzieć, czy funkcja jest rosnąca, malejąca czy stała.
| Warunek | Własność | Przykład | Jak wygląda wykres? |
|---|---|---|---|
| a>0 | rosnąca | f(x)=4x-1 | prosta idzie w górę w prawo |
| a<0 | malejąca | f(x)=-3x+2 | prosta idzie w dół w prawo |
| a=0 | stała | f(x)=7 | prosta pozioma |
Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej z dwóch punktów?
Jeżeli znasz dwa punkty prostej, np. A(x1,y1) i B(x2,y2), najpierw liczysz współczynnik kierunkowy a. Potem podstawiasz jeden punkt do wzoru y=ax+b i wyznaczasz b.
Współczynnik kierunkowy
Jeżeli x1=x2, prosta jest pionowa i nie jest wykresem funkcji y=ax+b.
Wyraz wolny
Po policzeniu a wstawiasz jeden z punktów do wzoru.
Przykład
Punkty: A(1,4), B(3,10). a=(10-4)/(3-1)=6/2=3. Teraz podstawiamy A: 4=3·1+b, więc b=1. Wzór funkcji to f(x)=3x+1.
Proste równoległe i prostopadłe
Współczynnik kierunkowy pozwala porównywać proste. Proste równoległe mają taki sam współczynnik a. Proste prostopadłe mają współczynniki, których iloczyn wynosi -1.
| Relacja | Warunek | Przykład |
|---|---|---|
| równoległe | a1=a2 | y=2x+1 i y=2x-5 |
| prostopadłe | a1·a2=-1 | y=2x+3 i y=-1/2x+4 |
| przecinające się | a1≠a2 | y=x+1 i y=3x-2 |
Przy prostych w układzie współrzędnych może przydać się tablica geometrii analitycznej.
Zadania krok po kroku
Zadanie 1
Dana jest funkcja f(x)=-2x+6. Oblicz miejsce zerowe i monotoniczność.
Miejsce zerowe: -2x+6=0, więc x=3. Ponieważ a=-2<0, funkcja jest malejąca.
Zadanie 2
Narysuj wykres f(x)=x+2.
Wybierz dwa punkty: f(0)=2, więc (0,2); miejsce zerowe x=-2, więc (-2,0). Połącz punkty prostą.
Zadanie 3
Wyznacz wzór funkcji przechodzącej przez A(0,3) i B(2,7).
a=(7-3)/(2-0)=2. Ponieważ dla x=0 mamy y=3, b=3. Wzór: f(x)=2x+3.
Zadanie 4
Sprawdź, czy proste y=-4x+1 i y=-4x-9 są równoległe.
Tak, ponieważ mają ten sam współczynnik kierunkowy a=-4.
Najczęstsze błędy przy funkcji liniowej
- Mylenie współczynnika a z wyrazem wolnym b.
- Błędny znak przy wzorze x0=-b/a.
- Rysowanie wykresu z jednego punktu zamiast z dwóch punktów.
- Podawanie miejsca zerowego jako punktu, gdy zadanie pyta o sam argument x.
- Uznanie funkcji stałej za rosnącą albo malejącą.
- Stosowanie wzoru na a z dwóch punktów, gdy x1=x2.
- Mylenie prostych równoległych z prostopadłymi.
Ciekawostka: funkcja liniowa opisuje stałe tempo zmiany
Współczynnik a mówi, o ile zmienia się wartość funkcji, gdy argument wzrośnie o 1. Dlatego funkcja liniowa pasuje do wielu prostych modeli: koszt za kilometr, stawka za godzinę, cena za sztukę albo stały przyrost temperatury w czasie.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy każdym zadaniu z funkcji liniowej najpierw odczytaj a i b. To od razu mówi, czy funkcja rośnie, gdzie przecina oś Y i jak zachowa się wykres. Potem dopiero licz miejsce zerowe, punkty do wykresu albo wzór z dwóch punktów.
Zobacz cały pakiet: Akademia funkcji, wykresów i analizy funkcji porządkuje wzory, kalkulatory, tablice i kolejne kroki analizy od prostych wykresów po pochodne i całki.
Zobacz cały dział: Akademia algebry – wzory, równania, funkcje i wielomiany porządkuje kalkulatory, tablice i poradniki od podstaw liczbowych przez równania i funkcje po macierze, liczby zespolone i wielomiany.