Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty. Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty.
Przejdź do treści

Wartości własne i wektory własne - kalkulator macierzy

Oblicz wartości własne, wektory własne i wielomian charakterystyczny macierzy 2×2 lub 3×3 krok po kroku.

Macierz A

Wybierz rozmiar i wpisz elementy macierzy rzeczywistej.
algebra liniowa
Elementy macierzy
Kalkulator przyjmuje liczby całkowite, dziesiętne i zapis naukowy, np. 0,5 albo 2e-3. Dla macierzy rzeczywistej wartości własne mogą być rzeczywiste lub zespolone.

Wynik

Wartości własne
λ₁ = 3, λ₂ = 1
Wielomian charakterystyczny
λ² - 4λ + 3
Macierz ma dwie różne rzeczywiste wartości własne i jest diagonalizowalna nad ℝ.
Wektory własne
Dla λ = 3: span{(1; 1)}
Dla λ = 1: span{(1; -1)}
Obliczenia krok po kroku
Wyznaczamy det(λI - A), rozwiązujemy równanie charakterystyczne, a następnie dla każdej wartości λ rozwiązujemy (A - λI)v = 0.

Powiązane narzędzia

Wyznacznik macierzy
Wyznacznik prowadzi do wielomianu charakterystycznego.
Rząd macierzy
Sprawdź rząd i przestrzeń rozwiązań układu (A - λI)v = 0.
Macierze - poradnik
Powtórz podstawy algebry liniowej przed wartościami własnymi.

Czym są wartości własne i wektory własne?

Niezerowy wektor v jest wektorem własnym macierzy A, jeżeli po pomnożeniu przez A nie zmienia kierunku, a jedynie skalę. Liczba λ określająca tę zmianę skali jest wartością własną.

A·v = λ·v

Po przeniesieniu wyrazów otrzymujemy układ jednorodny (A - λI)v = 0. Niezerowe rozwiązanie istnieje wtedy, gdy macierz A - λI jest osobliwa.

Jak znaleźć wartości własne?

Najpierw tworzymy wielomian charakterystyczny χA(λ) = det(λI - A), a następnie rozwiązujemy równanie χA(λ) = 0.

Dla macierzy 2×2 jest to równanie kwadratowe. Dla macierzy 3×3 otrzymujemy równanie trzeciego stopnia. Kalkulator zachowuje dokładne współczynniki wielomianu dla danych dziesiętnych i dopiero same pierwiastki niewymierne lub zespolone podaje numerycznie.

Jak wyznaczyć wektory własne?

Dla każdej znalezionej wartości własnej λ podstawiamy ją do macierzy A - λI i rozwiązujemy układ jednorodny.

(A - λI)v = 0

Wynikiem nie jest pojedynczy wektor, lecz przestrzeń własna. Kalkulator pokazuje jej bazę w postaci span{v₁, v₂, ...}.

Krotność algebraiczna i geometryczna

Krotność algebraiczna mówi, ile razy dana wartość λ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego. Krotność geometryczna jest wymiarem przestrzeni rozwiązań (A - λI)v = 0.

Macierz n×n jest diagonalizowalna nad danym ciałem wtedy, gdy można znaleźć n liniowo niezależnych wektorów własnych.

Wskazówka od KalkulatorXXL

Suma wartości własnych z krotnościami powinna być równa śladowi macierzy, a ich iloczyn - wyznacznikowi. To szybka kontrola rachunków, szczególnie przy macierzach 3×3.

Najczęstsze błędy

  • Pomieszanie znaków w det(λI - A) i det(A - λI).
  • Traktowanie wektora zerowego jako wektora własnego.
  • Podanie jednego przykładowego wektora zamiast całej bazy przestrzeni własnej.
  • Pominięcie krotności wartości własnej.
  • Założenie, że każda macierz rzeczywista ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.

Dla studenta: jak sprawdzić wynik?

Dla każdego podanego wektora własnego możesz bezpośrednio sprawdzić równość A·v = λ·v. Kalkulator wykonuje również kontrolę wielomianu charakterystycznego i wymiaru przestrzeni własnej.

Przy wartościach zespolonych wektory własne również mogą mieć składowe zespolone. Jest to poprawne nawet wtedy, gdy wszystkie elementy macierzy A są rzeczywiste.

FAQ - wartości własne i wektory własne

Wartość własna λ to liczba, dla której istnieje niezerowy wektor v spełniający równanie A·v = λ·v.

Nie. W definicji wektora własnego wymagamy, aby v był różny od wektora zerowego.

Tworzy się wielomian charakterystyczny det(λI - A), który dla macierzy 2×2 jest kwadratowy, a następnie znajduje jego pierwiastki.

Tak. Niesymetryczna macierz rzeczywista może mieć parę sprzężonych wartości zespolonych, na przykład macierz obrotu o 90 stopni.

To liczba powtórzeń danej wartości jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego.

To wymiar przestrzeni własnej, czyli liczba liniowo niezależnych wektorów w bazie rozwiązań równania (A - λI)v = 0.

Macierz n×n jest diagonalizowalna nad danym ciałem, gdy ma łącznie n liniowo niezależnych wektorów własnych w tym ciele.

Suma wartości własnych liczonych z krotnościami powinna być równa śladowi macierzy, a ich iloczyn wyznacznikowi.

Aktualizacja: 21.09.2026