Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty. Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty.
Przejdź do treści

Iloczyn wektorowy - kalkulator krok po kroku

Oblicz a × b dla wektorów w 3D. Kalkulator pokazuje składowe, rozwinięcie wyznacznika, długość iloczynu, pola oraz sprawdzenie prostopadłości.

Podaj dwa wektory w przestrzeni

Możesz wpisywać liczby całkowite i dziesiętne. Składowe iloczynu są liczone dokładnie.
wektory • 3D • geometria
Wektor a = (a₁, a₂, a₃)
Wektor b = (b₁, b₂, b₃)
Kolejność ma znaczenie: b × a = -(a × b). Wektor zerowy nie ma określonego kierunku, ale sam iloczyn wektorowy nadal można policzyć.

Wynik iloczynu wektorowego

a × b
—
Wprowadź współrzędne obu wektorów.
|a × b|
—
Pole równoległoboku.
Pole trójkąta
—
Połowa długości iloczynu.
Po wpisaniu danych pojawi się wynik.
Rozwinięcie krok po kroku
Po poprawnym wypełnieniu pól będzie dostępne rozwiązanie krok po kroku.

Powiązane narzędzia

Działania na wektorach
Dodaj, odejmij i pomnóż wektor przez skalar.
Równanie płaszczyzny 3D
Użyj iloczynu wektorowego do wyznaczenia wektora normalnego.
Poradnik o wektorach
Powtórz współrzędne, długość, iloczyny i zastosowania.

Co mówi wynik a × b?

Kierunek
Wektor a × b jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez a i b.
Długość
|a × b| = |a||b|sin α, czyli jest równa polu równoległoboku zbudowanego na wektorach.
Orientacja
Zwrot wyznacza reguła prawej dłoni. Zamiana kolejności zmienia znak wyniku.

Wzór na iloczyn wektorowy

Dla a = (a₁, a₂, a₃) oraz b = (b₁, b₂, b₃) otrzymujemy:

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂; a₃b₁ - a₁b₃; a₁b₂ - a₂b₁)

Szczególnie łatwo pomylić znak drugiej składowej. Zapis powyżej jest równoważny rozwinięciu wyznacznika po pierwszym wierszu.

Kiedy iloczyn wektorowy jest równy zero?

Dla dwóch niezerowych wektorów a × b = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są równoległe lub przeciwnie skierowane. Wynika to ze wzoru |a × b| = |a||b|sin α.

Jeżeli jeden z wektorów jest zerowy, iloczyn również jest zerowy, ale nie należy wtedy mówić o kierunku ani kącie wektora zerowego.

Pole równoległoboku i trójkąta

Dwa wektory wychodzące ze wspólnego punktu mogą tworzyć boki równoległoboku. Jego pole jest długością iloczynu wektorowego.

Prównoległoboku = |a × b|,    Ptrójkąta = |a × b| / 2

To zastosowanie jest szczególnie wygodne w geometrii analitycznej 3D i przy liczeniu pola trójkąta z dwóch wektorów boków.

Wskazówka od KalkulatorXXL

Po obliczeniu a × b wykonaj szybki test: iloczyny skalarne a · (a × b) oraz b · (a × b) powinny być równe 0. Kalkulator wykonuje tę kontrolę dokładnie na danych wejściowych.

Najczęstsze błędy

  • Zamiana kolejności wektorów bez zmiany znaku wyniku.
  • Błędny znak drugiej składowej podczas rozwijania wyznacznika.
  • Mylenie iloczynu wektorowego, którego wynikiem jest wektor, z iloczynem skalarnym, którego wynikiem jest liczba.
  • Uznanie zerowego iloczynu za dowód równoległości bez sprawdzenia, czy któryś z wektorów nie jest zerowy.
  • Mylenie |a × b| z polem trójkąta - pole trójkąta jest o połowę mniejsze.

Dla ucznia i studenta: szybki schemat

Najpierw policz trzy składowe wektora według wzoru. Następnie, jeśli potrzebujesz pola, oblicz jego długość jako pierwiastek z sumy kwadratów składowych. W zadaniach o wektorze normalnym wynik a × b może być od razu użyty jako wektor prostopadły do obu danych wektorów.

Jeżeli zadanie wymaga odwrotnej orientacji normalnej, wystarczy zmienić kolejność: b × a = -(a × b).

FAQ - iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów w przestrzeni trójwymiarowej jest wektorem prostopadłym do obu wektorów wejściowych. Jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na tych wektorach.

Dla a = (a1, a2, a3) i b = (b1, b2, b3) składowe wyniku to: a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3 oraz a1b2 - a2b1.

Nie. Iloczyn wektorowy jest antyprzemienny: b × a = -(a × b). Wektory mają tę samą długość, ale przeciwne zwroty.

Jeżeli jeden z wektorów jest zerowy albo dwa niezerowe wektory są równoległe lub przeciwnie skierowane.

Policz iloczyn skalarny wyniku z każdym wektorem wejściowym. Dla poprawnego iloczynu wektorowego oba iloczyny skalarne są równe 0.

Najpierw oblicz długość |a × b|. Jest to pole równoległoboku. Pole trójkąta zbudowanego na tych samych dwóch wektorach wynosi |a × b|/2.

Standardowy iloczyn wektorowy zwracający wektor stosuje się w 3D. Wektory 2D można osadzić w 3D, dopisując trzecią składową równą 0; wynik będzie wtedy skierowany wzdłuż osi z.

Tak. Wpisane skończone liczby dziesiętne są zamieniane na dokładne ułamki, więc składowe iloczynu i testy prostopadłości nie zależą od arbitralnego progu zaokrągleń.

Ostatnia aktualizacja: 21.09.2026