Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły?
Ułamek okresowy to liczba dziesiętna, w której pewien fragment cyfr powtarza się bez końca. Zapis 0,(3) oznacza 0,3333..., a 0,1(6) oznacza 0,1666.... Taki zapis można zamienić na ułamek zwykły, czyli licznik i mianownik.
Najprostszy przykład to 0,(3)=1/3. Gdy część okresowa zaczyna się dopiero po kilku cyfrach, trzeba uwzględnić część nieokresową. Do zwykłych zamian między ułamkiem, procentem i liczbą dziesiętną przyda się kalkulator zamiany ułamków, a wynik możesz dalej porównać w kalkulatorze porównywania ułamków.
Wzór na ułamek okresowy
| Typ liczby | Jak liczyć? | Przykład |
|---|---|---|
| Okres od razu po przecinku | okres / tyle dziewiątek, ile cyfr ma okres | 0,(3)=3/9=1/3 |
| Część nieokresowa i okres | (liczba z nieokresową i okresem − nieokresowa) / [10^m · (10^r−1)] | 0,1(6)=(16−1)/90=1/6 |
| Część całkowita | dodaj część całkowitą do ułamka z części dziesiętnej | 2,(45)=2+45/99=27/11 |
| Liczba ujemna | najpierw licz wartość dodatnią, potem dodaj minus | -0,(6)=-2/3 |
Dlaczego w mianowniku pojawiają się dziewiątki i zera?
Dziewiątki opisują część okresową
Jeśli okres ma jedną cyfrę, pojawia się 9. Dwie cyfry okresu dają 99, a trzy cyfry okresu dają 999.
Zera przesuwają część nieokresową
Jeśli przed okresem jest jedna cyfra nieokresowa, mianownik dostaje jedno zero po dziewiątkach, np. 90.
Dla ucznia: przećwicz ułamki okresowe
Kalkulator pozwala odsłaniać kolejne przekształcenia algebraiczne, samodzielnie wpisać odpowiedź i sprawdzić ją bez zaokrągleń. W trybie ucznia można także skorzystać z podpowiedzi. Do samodzielnej nauki przygotowana jest osobna strona z losowanymi zestawami.
Znajdziesz tam 15 zadań z okresów czystych i mieszanych, części całkowitej, mianownika przed skróceniem oraz licznika wynikającego ze wzoru.
Najczęstsze błędy przy ułamkach okresowych
- Mylenie 0,16 z 0,1(6). Pierwsza liczba jest skończona, druga ma powtarzającą się szóstkę.
- Brak odejmowania części nieokresowej. Przy 0,1(6) trzeba liczyć 16 − 1, a nie samo 16.
- Zły mianownik. Dla jednej cyfry nieokresowej i jednej okresowej mianownik to 90, nie 9.
- Brak skrócenia ułamka. 15/90 warto skrócić do 1/6.
Ciekawostka: 0,(9) jest równe 1
Zapis 0,(9) oznacza 0,9999... i jest równy 1. Widać to po zamianie: 0,(9)=9/9=1.