Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty. Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty.
Przejdź do treści

Odległość punktu od płaszczyzny - kalkulator 3D

Oblicz odległość punktu P od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0, punkt rzutu prostopadłego i sprawdzenie wyniku krok po kroku.

Punkt i równanie płaszczyzny

Wpisz współrzędne punktu oraz współczynniki równania Ax + By + Cz + D = 0.
geometria analityczna • 3D
Punkt P = (x₀, y₀, z₀)
Płaszczyzna Ax + By + Cz + D = 0
Warunek poprawnego równania płaszczyzny: A, B i C nie mogą być jednocześnie równe 0. Pomnożenie wszystkich współczynników przez tę samą niezerową liczbę nie zmienia odległości.

Wynik

Odległość punktu od płaszczyzny
2
Dokładnie: 2
Wartość licznika |Ax₀+By₀+Cz₀+D|
6
Długość wektora normalnego
3
Punkt nie leży na płaszczyźnie. Najkrótszy odcinek jest prostopadły do płaszczyzny.
Rzut prostopadły punktu na płaszczyznę
H = (2/3; -1/3; 5/3)
Obliczenia krok po kroku

Powiązane narzędzia

Równanie płaszczyzny 3D
Najpierw wyznacz współczynniki A, B, C i D.
Kąt prosta-płaszczyzna
Sprawdź położenie prostej względem tej samej płaszczyzny.
Geometria analityczna
Powtórz punkty, proste, odległości i przejdź do przestrzeni 3D.

Wzór na odległość punktu od płaszczyzny

Dla punktu P = (x₀, y₀, z₀) i płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 odległość wynosi:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

Licznik mierzy, jak bardzo punkt nie spełnia równania płaszczyzny, a mianownik usuwa wpływ skali współczynników A, B, C i D.

Dlaczego nie można pominąć mianownika?

Równania x + y + z - 1 = 0 oraz 2x + 2y + 2z - 2 = 0 opisują tę samą płaszczyznę. Sam licznik w drugim równaniu byłby dwa razy większy.

Długość wektora normalnego również rośnie dwa razy, dlatego ich iloraz - rzeczywista odległość - pozostaje taki sam.

Rzut prostopadły punktu na płaszczyznę

Kalkulator wyznacza także punkt H leżący na płaszczyźnie, do którego odcinek PH jest prostopadły. To najbliższy punkt płaszczyzny względem P.

H = P - [(Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)/(A² + B² + C²)] · (A, B, C)

Długość odcinka PH jest dokładnie równa obliczonej odległości.

Wskazówka od KalkulatorXXL

Po wyznaczeniu punktu H podstaw jego współrzędne do równania płaszczyzny. Wynik powinien być dokładnie równy 0. Kalkulator wykonuje tę kontrolę na dokładnych ułamkach.

Najczęstsze błędy

  • Brak wartości bezwzględnej w liczniku.
  • Pominięcie pierwiastka w mianowniku.
  • Użycie D w sumie A² + B² + C² - współczynnik D nie należy do wektora normalnego.
  • Podstawienie współrzędnych punktu w złej kolejności.
  • Próba użycia A = B = C = 0, co nie opisuje płaszczyzny.

Dla ucznia i studenta: szybka kontrola wyniku

Odległość zawsze musi być nieujemna. Jeśli punkt spełnia równanie płaszczyzny, licznik jest równy 0, więc odległość także wynosi 0.

Jeżeli pomnożysz wszystkie współczynniki równania płaszczyzny przez tę samą niezerową liczbę, wynik odległości nie powinien się zmienić.

FAQ - odległość punktu od płaszczyzny

Dla punktu P = (x0, y0, z0) i płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 używamy d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Wyrażenie Ax0 + By0 + Cz0 + D może być dodatnie albo ujemne zależnie od strony płaszczyzny. Odległość geometryczna nie może być ujemna, dlatego bierzemy wartość bezwzględną.

To długość wektora normalnego n = (A, B, C). Dzięki podzieleniu przez tę długość wynik nie zależy od tego, przez jaką niezerową liczbę pomnożono równanie płaszczyzny.

Dokładnie wtedy, gdy punkt leży na płaszczyźnie, czyli gdy Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.

Nie. Wektorem normalnym płaszczyzny jest (A, B, C), więc jego długość to sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

To punkt H leżący na płaszczyźnie, dla którego odcinek PH jest prostopadły do płaszczyzny. Jest to najbliższy punkt płaszczyzny względem P.

Nie, o ile mnożnik jest niezerowy. Licznik i mianownik wzoru zmieniają się wtedy w tej samej proporcji, więc ich iloraz pozostaje taki sam.

Tak. Skończone liczby dziesiętne są przeliczane na dokładne ułamki, dzięki czemu kontrola położenia rzutu na płaszczyźnie nie opiera się na sztucznym progu epsilon.

Ostatnia aktualizacja: 21.09.2026